Даны два ненулевых вектора а и b, причем |a| = 4, |b| = 3, а угол между ними равен 60°. Найдите длину вектора c = 2a – 3b и угол, который вектор c образует с вектором а.

Решение:

Дано: \( |\vec{a}| = 4 \), \( |\vec{b}| = 3 \), угол между \( \vec{a} \) и \( \vec{b} \) равен \( 60^{\circ} \).

Найти: \( |\vec{c}| \) и угол между \( \vec{c} \) и \( \vec{a} \), где \( \vec{c} = 2\vec{a} - 3\vec{b} \).

1. Найдём длину вектора \( \vec{c} \):

Длина вектора \( \vec{c} \) находится по формуле:

\( |\vec{c}|^2 = \vec{c} \cdot \vec{c} = (2\vec{a} - 3\vec{b}) \cdot (2\vec{a} - 3\vec{b}) \)

Используем свойство скалярного произведения \( \vec{u} \cdot \vec{v} = |\vec{u}| |\vec{v}| \cos{\theta} \) и \( \vec{u} \cdot \vec{u} = |\vec{u}|^2 \).

\( |\vec{c}|^2 = (2\vec{a}) \cdot (2\vec{a}) - 2(2\vec{a}) \cdot (3\vec{b}) + (3\vec{b}) \cdot (3\vec{b}) \)

\( |\vec{c}|^2 = 4|\vec{a}|^2 - 12(\vec{a} \cdot \vec{b}) + 9|\vec{b}|^2 \)

Вычислим скалярное произведение \( \vec{a} \cdot \vec{b} \):

\( \vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos{60^{\circ}} = 4 \cdot 3 \cdot \frac{1}{2} = 6 \)

Подставим значения:

\( |\vec{c}|^2 = 4(4^2) - 12(6) + 9(3^2) \)

\( |\vec{c}|^2 = 4(16) - 72 + 9(9) \)

\( |\vec{c}|^2 = 64 - 72 + 81 \)

\( |\vec{c}|^2 = 73 \)

\( |\vec{c}| = \sqrt{73} \)

2. Найдём угол между \( \vec{c} \) и \( \vec{a} \):

Для этого найдём скалярное произведение \( \vec{c} \cdot \vec{a} \) и используем формулу:

\( \cos{\alpha} = \frac{\vec{c} \cdot \vec{a}}{|\vec{c}| |\vec{a}|} \)

Вычислим \( \vec{c} \cdot \vec{a} \):

\( \vec{c} \cdot \vec{a} = (2\vec{a} - 3\vec{b}) \cdot \vec{a} = 2(\vec{a} \cdot \vec{a}) - 3(\vec{b} \cdot \vec{a}) \)

\( \vec{c} \cdot \vec{a} = 2|\vec{a}|^2 - 3(\vec{a} \cdot \vec{b}) \)

\( \vec{c} \cdot \vec{a} = 2(4^2) - 3(6) \)

\( \vec{c} \cdot \vec{a} = 2(16) - 18 \)

\( \vec{c} \cdot \vec{a} = 32 - 18 = 14 \)

Теперь найдём косинус угла \( \alpha \) между \( \vec{c} \) и \( \vec{a} \):

\( \cos{\alpha} = \frac{14}{\sqrt{73} \cdot 4} = \frac{14}{4\sqrt{73}} = \frac{7}{2\sqrt{73}} \)

Рационализируем знаменатель:

\( \cos{\alpha} = \frac{7 \cdot \sqrt{73}}{2\sqrt{73} \cdot \sqrt{73}} = \frac{7\sqrt{73}}{2 \cdot 73} = \frac{7\sqrt{73}}{146} \)

Угол \( \alpha = \arccos{\left(\frac{7\sqrt{73}}{146}\right)} \).

Ответ: длина вектора \( \vec{c} \) равна \( \sqrt{73} \); угол между \( \vec{c} \) и \( \vec{a} \) равен \( \arccos{\left(\frac{7\sqrt{73}}{146}\right)} \).