Даны два ненулевых вектора x и y. Известно, что: |x + y| = |x - y|. Докажите, что векторы x и y перпендикулярны, используя только свойства скалярного произведения (не переходя к координатам).

Доказательство:

Нам дано, что \( |\vec{x} + \vec{y}| = |\vec{x} - \vec{y}| \). Возведём обе части равенства в квадрат:

\( |\vec{x} + \vec{y}|^2 = |\vec{x} - \vec{y}|^2 \)

Используя свойство скалярного произведения \( |\vec{a}|^2 = \vec{a} \cdot \vec{a} \), получим:

\( (\vec{x} + \vec{y}) \cdot (\vec{x} + \vec{y}) = (\vec{x} - \vec{y}) \cdot (\vec{x} - \vec{y}) \)

Раскроем скобки, используя свойства дистрибутивности и коммутативности скалярного произведения:

\( \vec{x} \cdot \vec{x} + \vec{x} \cdot \vec{y} + \vec{y} \cdot \vec{x} + \vec{y} \cdot \vec{y} = \vec{x} \cdot \vec{x} - \vec{x} \cdot \vec{y} - \vec{y} \cdot \vec{x} + \vec{y} \cdot \vec{y} \)

Учитывая, что \( \vec{x} \cdot \vec{y} = \vec{y} \cdot \vec{x} \) и \( \vec{x} \cdot \vec{x} = |\vec{x}|^2 \), \( \vec{y} \cdot \vec{y} = |\vec{y}|^2 \), упрощаем:

\( |\vec{x}|^2 + 2(\vec{x} \cdot \vec{y}) + |\vec{y}|^2 = |\vec{x}|^2 - 2(\vec{x} \cdot \vec{y}) + |\vec{y}|^2 \)

Вычтем \( |\vec{x}|^2 \) и \( |\vec{y}|^2 \) из обеих частей:

\( 2(\vec{x} \cdot \vec{y}) = -2(\vec{x} \cdot \vec{y}) \)

Перенесём все члены в одну сторону:

\( 2(\vec{x} \cdot \vec{y}) + 2(\vec{x} \cdot \vec{y}) = 0 \)

\( 4(\vec{x} \cdot \vec{y}) = 0 \)

Разделим на 4:

\( \vec{x} \cdot \vec{y} = 0 \)

По определению скалярного произведения, если \( \vec{x} \cdot \vec{y} = 0 \) и векторы \( \vec{x} \) и \( \vec{y} \) ненулевые, то они перпендикулярны.

Что и требовалось доказать.