Даны два отрезка ЕК и РМ, концы которых Е(-2; 1), K(−2; 3), M(3; 0), P(2; -2). Найдите угол между векторами PE и EK. В ответ запишите косинус искомого угла.

Пошаговое решение:

• Найдем координаты векторов \(\overrightarrow{PE}\) и \(\overrightarrow{EK}\):
  • \(\overrightarrow{PE} = E - P = (-2 - 2; 1 - (-2)) = (-4; 3)\)
  • \(\overrightarrow{EK} = K - E = (-2 - (-2); 3 - 1) = (0; 2)\)
• Вычислим косинус угла между векторами \(\overrightarrow{PE}\) и \(\overrightarrow{EK}\) по формуле:$$\cos(\alpha) = \frac{\overrightarrow{PE} \cdot \overrightarrow{EK}}{|\overrightarrow{PE}| \cdot |\overrightarrow{EK}|} = \frac{x_1x_2 + y_1y_2}{\sqrt{x_1^2 + y_1^2} \cdot \sqrt{x_2^2 + y_2^2}}$$, где \((x_1; y_1)\) и \((x_2; y_2)\) — координаты векторов \(\overrightarrow{PE}\) и \(\overrightarrow{EK}\) соответственно.
• Подставим значения:$$\cos(\alpha) = \frac{(-4 \cdot 0 + 3 \cdot 2)}{\sqrt{(-4)^2 + 3^2} \cdot \sqrt{0^2 + 2^2}} = \frac{6}{\sqrt{16 + 9} \cdot \sqrt{4}} = \frac{6}{\sqrt{25} \cdot 2} = \frac{6}{5 \cdot 2} = \frac{6}{10} = 0.6$$

Ответ: 0.6