Даны два отрезка ЕК и РМ, концы которых Е(-3; 1), K(1; 4), M(2;1), P(-4; 1). Найдите угол между векторами РЕ и ЕК. В ответ запишите косинус искомого угла.

Решение:

Чтобы найти угол между векторами, вычислим их координаты.

1. Вектор $$\vec{PE}$$:

Координаты вектора находятся как разность координат конца и начала: $$\vec{PE} = (E_x - P_x; E_y - P_y)$$.

$$\vec{PE} = (-3 - (-4); 1 - 1) = (1; 0)$$.

2. Вектор $$\vec{EK}$$:

$$\vec{EK} = (K_x - E_x; K_y - E_y) = (1 - (-3); 4 - 1) = (4; 3)$$.

3. Косинус угла между векторами вычисляется по формуле:

$$\cos(\alpha) = \frac{\vec{PE} \cdot \vec{EK}}{||\vec{PE}|| \cdot ||\vec{EK}||}$$

Скалярное произведение векторов $$\vec{PE} \cdot \vec{EK}$$:

$$\vec{PE} \cdot \vec{EK} = (1 \cdot 4) + (0 \cdot 3) = 4 + 0 = 4$$.

Длины векторов:

$$||\vec{PE}|| = \sqrt{1^2 + 0^2} = \sqrt{1} = 1$$.

$$||\vec{EK}|| = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5$$.

4. Вычисляем косинус угла:

$$\cos(\alpha) = \frac{4}{1 \cdot 5} = \frac{4}{5} = 0.8$$.

Ответ: 0.8