Даны два подобных треугольника АВС и А1В1С1 . Найдите площадь наименьшего треугольника.

Рассмотрим подобные треугольники ABC и A₁B₁C₁. Площадь наименьшего треугольника - это площадь треугольника A₁B₁C₁.

1) Найдем высоту C₁H₁ треугольника A₁B₁C₁.

Для этого рассмотрим треугольник ABC. Найдем его площадь, используя формулу Герона:

Полупериметр треугольника ABC равен:

$$p = \frac{4 + 12 + 10}{2} = \frac{26}{2} = 13$$

Площадь треугольника ABC равна:

$$S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} = \sqrt{13(13-4)(13-12)(13-10)} = \sqrt{13 \cdot 9 \cdot 1 \cdot 3} = \sqrt{39 \cdot 9} = 3\sqrt{39}$$

Площадь треугольника ABC также можно найти по формуле:

$$S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot CH = \frac{1}{2} \cdot (4+12) \cdot CH = 8CH$$

Тогда $$CH = \frac{S}{8} = \frac{3\sqrt{39}}{8}$$.

2) Теперь найдем коэффициент подобия треугольников ABC и A₁B₁C₁:

$$k = \frac{AH}{A_1H_1} = \frac{4}{1} = 4$$

Значит, все стороны треугольника ABC в 4 раза больше, чем стороны треугольника A₁B₁C₁.

Следовательно, высота C₁H₁ треугольника A₁B₁C₁ равна:

$$C_1H_1 = \frac{CH}{k} = \frac{\frac{3\sqrt{39}}{8}}{4} = \frac{3\sqrt{39}}{32}$$

3) Найдем площадь треугольника A₁B₁C₁:

$$S_{A_1B_1C_1} = \frac{1}{2} \cdot A_1B_1 \cdot C_1H_1 = \frac{1}{2} \cdot (1+3) \cdot \frac{3\sqrt{39}}{32} = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot \frac{3\sqrt{39}}{32} = \frac{12\sqrt{39}}{64} = \frac{3\sqrt{39}}{16}$$

Округлим значение площади до десятых:

$$\frac{3\sqrt{39}}{16} \approx \frac{3 \cdot 6.245}{16} \approx \frac{18.735}{16} \approx 1.17 \approx 1.2$$

Ответ: 1.2