1. Даны два прямоугольных треугольника ДАВBC, AADC (рис1). АС - биссектриса, ∠ВАС = 35°. Доказать: ДАВС = ДАРС. Найти ∠BCD.

1. Дано: ΔАВС и ΔАДС - прямоугольные, АС - биссектриса ∠ВАС, ∠ВАС = 35°.

Доказать: ΔАВС = ΔАДС

Найти: ∠ВСD

Решение:

Так как АС - биссектриса угла ∠ВАС, то ∠ВАС = ∠DAC = 35°.

Рассмотрим ΔАВС и ΔАДС:

• АС - общая сторона
• ∠АСВ = ∠ACD = 90°, т.к. ΔАВС и ΔАДС - прямоугольные
• ∠ВАС = ∠DAC = 35°, т.к. АС - биссектриса

Следовательно, ΔАВС = ΔАДС по стороне и двум прилежащим к ней углам (по второму признаку равенства треугольников).

В прямоугольном ΔАВС:

∠ВАС + ∠АВС = 90°

35° + ∠АВС = 90°

∠АВС = 90° - 35° = 55°

Так как ΔАВС = ΔАДС, то ∠АВС = ∠АДС = 55°.

ΔВCD - равнобедренный, т.к. ΔАВС = ΔАДС, следовательно ВС = CD, а ∠СВD = ∠СDB = 55°.

В ΔВCD:

∠ВСD + ∠СВD + ∠СDB = 180°

∠ВСD + 55° + 55° = 180°

∠ВСD = 180° - 110° = 70°

Ответ: ∠BCD = 70°