130. Даны два события А и В, и известны некоторые вероятности: Р(А) = 0,2, P(B) = 0,7 и P(AUB) = 0,45. а) Во всех четырёх фигурах на диаграмме Эйлера расставьте вероятности соответствующих событий. б) Найдите вероятность события, которое состоит в том, что событие А наступило, а событие В не наступило.

Решение:

а) Расставим вероятности на диаграмме Эйлера.

1. $$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$$ отсюда найдем $$P(A \cap B)$$. $$P(A \cap B) = P(A) + P(B) - P(A \cup B) = 0.2 + 0.7 - 0.45 = 0.45$$
2. Вероятность только A: $$P(A) - P(A \cap B) = 0,2 - 0,45 = -0,25$$.

В данном случае условие некорректно, так как получается отрицательное значение вероятности.

Допустим, что в условии P(B)=0,25. Тогда:

1. $$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$$ отсюда найдем $$P(A \cap B)$$. $$P(A \cap B) = P(A) + P(B) - P(A \cup B) = 0.2 + 0.7 - 0.45 = 0.2+0.25-0.45=0$$
2. Вероятность только A: $$P(A) - P(A \cap B) = 0,2 - 0 = 0,2$$.
3. Вероятность только B: $$P(B) - P(A \cap B) = 0,25 - 0 = 0,25$$.
4. Вероятность ни A, ни B: $$1 - P(A \cup B) = 1 - 0,45 = 0,55$$.

б) Вероятность того, что событие А наступило, а событие В не наступило, равна вероятности только А, то есть 0,2.

Ответ: 0,2