Даны две коробки, имеющие форму правильной четырёхугольной призмы, стоящей на основании. Первая коробка в полтора раза ниже второй, а вторая вдвое шире первой. Во сколько раз объём первой коробки меньше объёма второй?

Решение:

1. Обозначим высоту первой коробки как \( h_1 \) и высоту второй коробки как \( h_2 \).
2. Обозначим ширину основания первой коробки как \( a_1 \) и ширину основания второй коробки как \( a_2 \).
3. По условию, первая коробка в полтора раза ниже второй: \( h_1 = \frac{3}{2} h_2 \).
4. Вторая коробка вдвое шире первой: \( a_2 = 2 a_1 \).
5. Объём правильной четырёхугольной призмы вычисляется по формуле \( V = a^2 \cdot h \), где \( a \) — сторона основания, а \( h \) — высота.
6. Объём первой коробки: \( V_1 = a_1^2 \cdot h_1 \).
7. Объём второй коробки: \( V_2 = a_2^2 \cdot h_2 \).
8. Подставим известные соотношения во второе уравнение: \( V_2 = (2 a_1)^2 \cdot h_2 = 4 a_1^2 \cdot h_2 \).
9. Теперь выразим \( h_2 \) через \( h_1 \): \( h_2 = \frac{2}{3} h_1 \).
10. Подставим это в формулу для \( V_2 \): \( V_2 = 4 a_1^2 \cdot \frac{2}{3} h_1 = \frac{8}{3} a_1^2 \cdot h_1 \).
11. Сравним объёмы: \( V_1 = a_1^2 \cdot h_1 \) и \( V_2 = \frac{8}{3} a_1^2 \cdot h_1 \).
12. Чтобы узнать, во сколько раз объём первой коробки меньше объёма второй, найдём отношение \( \frac{V_2}{V_1} \): \( \frac{V_2}{V_1} = \frac{\frac{8}{3} a_1^2 \cdot h_1}{a_1^2 \cdot h_1} = \frac{8}{3} \).
13. Значит, объём второй коробки в \( \frac{8}{3} \) раза больше объёма первой. Следовательно, объём первой коробки меньше объёма второй в \( \frac{8}{3} \) раза.

Ответ: объём первой коробки меньше объёма второй в 8/3 раза.