Даны две параллельные прямые, на первой из которых взяты 5 точек, а на второй - 4 точки. Сколько существует различных треугольников с вершинами в этих точках?

Решение:

Для того чтобы образовать треугольник, нужно выбрать три точки. Эти три точки не должны лежать на одной прямой.

Условие задачи гласит, что у нас есть две параллельные прямые. Это значит, что никакие три точки, взятые с одной прямой, не образуют треугольник. Чтобы сформировать треугольник, нам нужно взять хотя бы одну точку с одной прямой и две точки с другой.

Существует два случая для образования треугольника:

1. Случай 1: Выбрать 2 точки с первой прямой (где 5 точек) и 1 точку со второй прямой (где 4 точки).
• Число способов выбрать 2 точки из 5: \( C(5, 2) = \frac{5!}{2!(5-2)!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10 \)
• Число способов выбрать 1 точку из 4: \( C(4, 1) = \frac{4!}{1!(4-1)!} = 4 \)
• Общее число треугольников в этом случае: \( C(5, 2) \times C(4, 1) = 10 \times 4 = 40 \)
2. Случай 2: Выбрать 1 точку с первой прямой (где 5 точек) и 2 точки со второй прямой (где 4 точки).
• Число способов выбрать 1 точку из 5: \( C(5, 1) = \frac{5!}{1!(5-1)!} = 5 \)
• Число способов выбрать 2 точки из 4: \( C(4, 2) = \frac{4!}{2!(4-2)!} = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6 \)
• Общее число треугольников в этом случае: \( C(5, 1) \times C(4, 2) = 5 \times 6 = 30 \)

Общее количество различных треугольников равно сумме треугольников из обоих случаев:

\( 40 + 30 = 70 \)

Ответ: 70