165. Даны две параллельные прямые, расстояние между которыми равно 3 см. Найдите ГМТ, сумма расстоя- ний от которых до этих прямых равна 5 см.

Ответ: Две прямые, параллельные данным, находящиеся на расстоянии 2 см от данных прямых.

Пошаговое решение:

• Пусть даны две параллельные прямые a и b, расстояние между которыми равно 3 см.
• Необходимо найти ГМТ, сумма расстояний от которых до этих прямых равна 5 см.
• Пусть x — расстояние от искомой точки до прямой a, тогда расстояние до прямой b будет равно 3 - x, если точка находится между прямыми, и x - 3, если точка находится вне прямых.
• По условию, сумма расстояний должна быть равна 5 см.
• Рассмотрим случай, когда точка находится между прямыми a и b:

\[x + (3 - x) = 5\] \[3 = 5\]

Это равенство неверно, значит, точек между прямыми нет.

• Рассмотрим случай, когда точка находится вне прямых:

\[x + (x - 3) = 5\] \[2x - 3 = 5\] \[2x = 8\] \[x = 4\]

Таким образом, искомая точка находится на расстоянии 4 см от прямой a и на расстоянии 1 см от прямой b.

• Рассмотрим другой случай, когда точка находится вне прямых, но ближе к прямой b:

\[(3-x) + x = 5\] \[3 = 5\]

Это равенство неверно, значит, точек между прямыми нет.

• Рассмотрим случай, когда точка находится вне прямых, но ближе к прямой b:

\[(x-3) + x = 5\] \[2x - 3 = 5\] \[2x = 8\] \[x = 4\]

Таким образом, искомая точка находится на расстоянии 4 см от прямой b и на расстоянии 1 см от прямой a.

• Следовательно, ГМТ представляет собой две прямые, параллельные данным, находящиеся на расстоянии 2 см от данных прямых.

Ответ: Две прямые, параллельные данным, находящиеся на расстоянии 2 см от данных прямых.