1072 Даны две точки А и В. Найдите множество всех точек М, для каждой из которых АМ² – ВМ² = к, где к – данное число.

• Шаг 1: Введём систему координат.

Пусть A имеет координаты (0; 0), а B имеет координаты (a; 0). Точка M имеет координаты (x; y).

• Шаг 2: Запишем выражения для квадратов расстояний.

\[AM^2 = x^2 + y^2\] \[BM^2 = (x - a)^2 + y^2\]

• Шаг 3: Подставим в уравнение и упростим.

\[x^2 + y^2 - ((x - a)^2 + y^2) = k\] \[x^2 + y^2 - (x^2 - 2ax + a^2 + y^2) = k\] \[x^2 + y^2 - x^2 + 2ax - a^2 - y^2 = k\] \[2ax - a^2 = k\] \[2ax = k + a^2\] \[x = \frac{k + a^2}{2a}\]

• Шаг 4: Анализ результата.

Полученное уравнение x = (k + a²)/(2a) является уравнением прямой, параллельной оси Oy (вертикальной прямой), проходящей через точку с координатой x = (k + a²)/(2a) на оси Ox.

Ответ: Множество точек M образует прямую, перпендикулярную оси Ox и проходящую через точку x = (k + a²)/(2a).