Даны функция z=(x; y), точка А(хо ;yo) и вектор а. Найти: 1) grad z в точке А; 2) производную в точке А по направлению вектора а. z = 3x²y² + 5y²x; A(1; 1), a = 2i + j .

Решение:

Дана функция \( z = 3x^2y^2 + 5y^2x \), точка \( A(1; 1) \) и вектор \( \mathbf{a} = 2\mathbf{i} + \mathbf{j} \).

1) Найдём градиент функции \( z \) в точке \( A \).

1. Найдем частные производные функции \( z \) по \( x \) и \( y \):
   \( \frac{\partial z}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}(3x^2y^2 + 5y^2x) = 6xy^2 + 5y^2 \)
   \( \frac{\partial z}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}(3x^2y^2 + 5y^2x) = 6x^2y + 10yx \)
2. Вычислим значения частных производных в точке \( A(1; 1) \):
   \( \frac{\partial z}{\partial x}(1; 1) = 6(1)(1)^2 + 5(1)^2 = 6 + 5 = 11 \)
   \( \frac{\partial z}{\partial y}(1; 1) = 6(1)^2(1) + 10(1)(1) = 6 + 10 = 16 \)
3. Градиент функции \( z \) в точке \( A(1; 1) \) равен:
   \( \text{grad } z(1; 1) = \frac{\partial z}{\partial x}(1; 1)\mathbf{i} + \frac{\partial z}{\partial y}(1; 1)\mathbf{j} = 11\mathbf{i} + 16\mathbf{j} \)

2) Найдём производную в точке \( A \) по направлению вектора \( \mathbf{a} \).

1. Нормируем вектор \( \mathbf{a} \):
   \( |\mathbf{a}| = \sqrt{2^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 1} = \sqrt{5} \)
   Единичный вектор направления \( \mathbf{e} = \frac{\mathbf{a}}{|\mathbf{a}|} = \frac{2\mathbf{i} + \mathbf{j}}{\sqrt{5}} = \frac{2}{\sqrt{5}}\mathbf{i} + \frac{1}{\sqrt{5}}\mathbf{j} \)
2. Производная по направлению равна скалярному произведению градиента на единичный вектор направления:
   \( \frac{\partial z}{\partial \mathbf{e}} = \text{grad } z \cdot \mathbf{e} = (11\mathbf{i} + 16\mathbf{j}) \cdot (\frac{2}{\sqrt{5}}\mathbf{i} + \frac{1}{\sqrt{5}}\mathbf{j}) \)
3. Вычислим скалярное произведение:
   \( \frac{\partial z}{\partial \mathbf{e}} = 11 \cdot \frac{2}{\sqrt{5}} + 16 \cdot \frac{1}{\sqrt{5}} = \frac{22}{\sqrt{5}} + \frac{16}{\sqrt{5}} = \frac{38}{\sqrt{5}} \)
4. Рационализируем знаменатель:
   \( \frac{38}{\sqrt{5}} = \frac{38\sqrt{5}}{5} \)

Ответ: 1) \( \text{grad } z(1; 1) = 11\mathbf{i} + 16\mathbf{j} \); 2) \( \frac{\partial z}{\partial \mathbf{e}} = \frac{38\sqrt{5}}{5} \).