0* Даны хорда и перпендикулярный ей диаметр. Конец хорды соединен с концом диаметра отрезком, составляющим с диаметром угол 60°. Найдите отношение отрезков, на которые хорда делит диаметр. Сделайте рисунок в тетради.

Решение:

• Пусть дана окружность с центром в точке O. Проведем диаметр AB и хорду CD, перпендикулярную AB. Пусть хорда CD пересекает диаметр AB в точке E.
• Соединим точку C (конец хорды) с точкой B (конец диаметра). Угол CBA равен 60° по условию задачи.
• Рассмотрим прямоугольный треугольник CBE. Угол CBE = 60°, следовательно, угол BCE = 90° - 60° = 30°.
• Так как CD перпендикулярна AB, то треугольник CEO – прямоугольный. В нем угол OCE = 30°.
• В прямоугольном треугольнике CEO катет OE, прилежащий к углу 30°, равен CE * cos(30°).
• Обозначим радиус окружности как R. Тогда CE = R (так как OC = R).
• OE = R * cos(30°) = R * (\(\sqrt{3}\)/2).
• Тогда AE = AO - OE = R - R * (\(\sqrt{3}\)/2) = R * (2 - \(\sqrt{3}\))/2, а EB = OB + OE = R + R * (\(\sqrt{3}\)/2) = R * (2 + \(\sqrt{3}\))/2.
• Теперь найдем отношение AE к EB: AE/EB = (R * (2 - \(\sqrt{3}\))/2) / (R * (2 + \(\sqrt{3}\))/2) = (2 - \(\sqrt{3}\))/(2 + \(\sqrt{3}\)).
• Умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение (2 - \(\sqrt{3}\)): AE/EB = ((2 - \(\sqrt{3}\))*(2 - \(\sqrt{3}\))) / ((2 + \(\sqrt{3}\))*(2 - \(\sqrt{3}\))) = (4 - 4\(\sqrt{3}\) + 3) / (4 - 3) = 7 - 4\(\sqrt{3}\).

Ответ: 7 - 4\(\sqrt{3}\)