Даны комплексные числа \( z_1 = 1+2i \) и \( z_2 = 2-5i \). Найти \( |z_1 - z_2|^2 \).

Решение:

Сначала найдём разность комплексных чисел \( z_1 \) и \( z_2 \):

\( z_1 - z_2 = (1+2i) - (2-5i) \)

Раскроем скобки, меняя знаки второго комплексного числа:

\( z_1 - z_2 = 1 + 2i - 2 + 5i \)

Сгруппируем действительные и мнимые части:

\( z_1 - z_2 = (1 - 2) + (2i + 5i) \)

\( z_1 - z_2 = -1 + 7i \)

Теперь найдём модуль разности \( |z_1 - z_2| \). Модуль комплексного числа \( a+bi \) равен \( \sqrt{a^2+b^2} \).

\( |z_1 - z_2| = |-1 + 7i| = \sqrt{(-1)^2 + 7^2} \)

\( |z_1 - z_2| = \sqrt{1 + 49} = \sqrt{50} \)

Наконец, возведём полученный модуль в квадрат:

\( |z_1 - z_2|^2 = (\sqrt{50})^2 = 50 \)

Ответ: 50.