Даны комплексные числа z₁ = 1+2i и z₂ = 2-3i. Найти |3z₁ - 2z₂|²

Решение:

Даны комплексные числа \( z_{1} = 1+2i \) и \( z_{2} = 2-3i \). Необходимо найти \( |3z_{1} - 2z_{2}|^2 \).

1. Найдем \( 3z_{1} \):
\[ 3z_{1} = 3(1+2i) = 3 + 6i \]
2. Найдем \( 2z_{2} \):
\[ 2z_{2} = 2(2-3i) = 4 - 6i \]
3. Вычислим \( 3z_{1} - 2z_{2} \):
\[ 3z_{1} - 2z_{2} = (3 + 6i) - (4 - 6i) = 3 + 6i - 4 + 6i = (3-4) + (6+6)i = -1 + 12i \]
4. Найдем модуль полученного комплексного числа \( -1 + 12i \). Модуль комплексного числа \( a+bi \) равен \( \sqrt{a^2 + b^2} \).
\[ |3z_{1} - 2z_{2}| = |-1 + 12i| = \sqrt{(-1)^2 + (12)^2} = \sqrt{1 + 144} = \sqrt{145} \]
5. Возведем модуль в квадрат:
\[ |3z_{1} - 2z_{2}|^2 = (\sqrt{145})^2 = 145 \]

Ответ: |3z₁ - 2z₂|² = 145.