Даны координаты трёх вершин прямоугольника ABCD: A(−1; −1), B(−1; 3) и D (5; −1). 1. Начерти в тетради этот прямоугольник. 2. Найди координаты вершины C. 3. Найди координаты точки пересечения диагоналей прямоугольника. 4. Вычисли площадь и периметр прямоугольника, считая, что длина единичного отрезка координатных осей равна 1 см.

Question

Accepted Answer

2. Находим координаты вершины C.

В прямоугольнике ABCD векторы \( \vec{AB} \) и \( \vec{DC} \) равны. Вектор \( \vec{AB} = (x_B - x_A; y_B - y_A) = (-1 - (-1); 3 - (-1)) = (0; 4) \).

Пусть координаты точки C равны \( (x_C; y_C) \). Тогда вектор \( \vec{DC} = (x_C - x_D; y_C - y_D) = (x_C - 5; y_C - (-1)) = (x_C - 5; y_C + 1) \).

Приравниваем координаты векторов: \( x_C - 5 = 0 \) и \( y_C + 1 = 4 \).

Решаем систему: \( x_C = 5 \) и \( y_C = 3 \).

Ответ: C(5; 3).

3. Находим координаты точки пересечения диагоналей прямоугольника.

Точка пересечения диагоналей прямоугольника является серединой любой из диагоналей, например, диагонали AC.

Координаты середины отрезка AC равны: \( x = \frac{x_A + x_C}{2} \) и \( y = \frac{y_A + y_C}{2} \).

Подставляем координаты точек A(−1; −1) и C(5; 3):

\( x = \frac{-1 + 5}{2} = \frac{4}{2} = 2 \)

\( y = \frac{-1 + 3}{2} = \frac{2}{2} = 1 \)

Ответ: (2; 1).

4. Вычисляем площадь и периметр прямоугольника.

Найдем длину сторон прямоугольника. Длина стороны AB:

\( AB = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2} = \sqrt{(-1 - (-1))^2 + (3 - (-1))^2} = \sqrt{0^2 + 4^2} = \sqrt{16} = 4 \) см.

Длина стороны AD:

\( AD = \sqrt{(x_D - x_A)^2 + (y_D - y_A)^2} = \sqrt{(5 - (-1))^2 + (-1 - (-1))^2} = \sqrt{6^2 + 0^2} = \sqrt{36} = 6 \) см.

Площадь прямоугольника S:

\( S = AB \cdot AD = 4 \cdot 6 = 24 \) см².

Периметр прямоугольника P:

\( P = 2(AB + AD) = 2(4 + 6) = 2(10) = 20 \) см.

Ответ: P = 20; S = 24.