Даны координаты трёх вершин прямоугольника ABCD: A (−1; −1), B(−1; 3) и D (5;−1). 1) Начертите прямоугольник ABCD. 2) Найдите координаты вершины С. 3) Найдите координаты точки пересечения диагоналей прямоугольника. 4) Вычислите площадь и периметр прямоугольника, считая, что длина единичного отрезка координатных осей равна 1 см.

Решение:

Дано: прямоугольник ABCD, A(−1; −1), B(−1; 3), D (5; −1).

1) Построение прямоугольника ABCD:

Для построения прямоугольника нам понадобятся все его вершины. Так как ABCD — прямоугольник, то векторы AB и AD перпендикулярны, а вектор BC параллелен AD и равен ему по длине, вектор DC параллелен AB и равен ему по длине.

2) Найдём координаты вершины C:

Координаты вершины C можно найти, используя свойство прямоугольника: диагонали пересекаются в одной точке и делятся пополам. Также можно использовать векторное равенство \(\vec{AB} = \vec{DC}\) или \(\vec{AD} = \vec{BC}\).

Используем векторное равенство \(\vec{AD} = \vec{BC}\):

\( \vec{AD} = (5 - (-1); -1 - (-1)) = (6; 0) \)

Пусть координаты вершины C равны \((x; y)\).

\( \vec{BC} = (x - (-1); y - 3) = (x + 1; y - 3) \)

Приравнивая компоненты векторов:

\( x + 1 = 6 \Rightarrow x = 5 \)

\( y - 3 = 0 \Rightarrow y = 3 \)

Итак, координаты вершины C — \((5; 3)\).

3) Найдём координаты точки пересечения диагоналей:

Точка пересечения диагоналей является серединой любой из диагоналей, например, диагонали AC.

Координаты середины отрезка AC с концами A(−1; −1) и C(5; 3) вычисляются по формуле:

\( x_m = \frac{x_A + x_C}{2} = \frac{-1 + 5}{2} = \frac{4}{2} = 2 \)

\( y_m = \frac{y_A + y_C}{2} = \frac{-1 + 3}{2} = \frac{2}{2} = 1 \)

Координаты точки пересечения диагоналей — \((2; 1)\).

4) Вычислим площадь и периметр прямоугольника:

Длина стороны AB:

\( AB = \sqrt{(-1 - (-1))^2 + (3 - (-1))^2} = \sqrt{0^2 + 4^2} = \sqrt{16} = 4 \) см.

Длина стороны AD:

\( AD = \sqrt{(5 - (-1))^2 + (-1 - (-1))^2} = \sqrt{6^2 + 0^2} = \sqrt{36} = 6 \) см.

Площадь прямоугольника:

\( S = AB \cdot AD = 4 \cdot 6 = 24 \) см².

Периметр прямоугольника:

\( P = 2(AB + AD) = 2(4 + 6) = 2(10) = 20 \) см.

Ответ:

2) Координаты вершины C: (5; 3).

3) Координаты точки пересечения диагоналей: (2; 1).

4) Площадь прямоугольника: 24 см². Периметр прямоугольника: 20 см.