Даны координаты трёх вершин прямоугольника ABCD: A (-2; -2), B (-2; 4) и D (6; -2). 1) Начертите этот прямоугольник. 2) Найдите координаты вершины С. 3) Найдите координаты точки пересечения диагоналей прямоугольника. 4) Вычислите площадь и периметр прямоугольника, считая, что длина единичного отрезка координатных осей равна 1 см.

Решение:

1. Построение прямоугольника:

   На координатной плоскости отмечаем точки A(-2; -2), B(-2; 4), D(6; -2). Поскольку ABCD - прямоугольник, стороны AB и AD перпендикулярны. AB параллельна оси Y, AD параллельна оси X. Длина стороны AB = |4 - (-2)| = 6. Длина стороны AD = |6 - (-2)| = 8.

2. Нахождение координат вершины C:

   В прямоугольнике противоположные стороны параллельны и равны. Вектор AB = (0, 6). Вектор DC = (Xc - 6, Yc - (-2)). Так как AB || DC, то Xc - 6 = 0, значит Xc = 6. Вектор AD = (8, 0). Вектор BC = (Xc - (-2), Yc - 4). Так как AD || BC, то Yc - 4 = 0, значит Yc = 4. Таким образом, координаты вершины C: (6; 4).

3. Нахождение координат точки пересечения диагоналей:

   Точка пересечения диагоналей прямоугольника является серединой любой из диагоналей (например, AC). Координаты середины отрезка AC: X_m = (X_A + X_C) / 2 = (-2 + 6) / 2 = 4 / 2 = 2. Y_m = (Y_A + Y_C) / 2 = (-2 + 4) / 2 = 2 / 2 = 1. Координаты точки пересечения диагоналей: (2; 1).

4. Вычисление площади и периметра:

   Длина стороны AB = 6 см. Длина стороны AD = 8 см. Площадь прямоугольника = длина × ширина = AB × AD = 6 см × 8 см = 48 см².

   Периметр прямоугольника = 2 × (длина + ширина) = 2 × (AB + AD) = 2 × (6 см + 8 см) = 2 × 14 см = 28 см.

Ответ:

• Координаты вершины C: (6; 4)
• Координаты точки пересечения диагоналей: (2; 1)
• Площадь прямоугольника: 48 см²
• Периметр прямоугольника: 28 см