Даны координаты трёх вершин прямоугольника ABCD: A (-4; -2), C (2; 4) и D (2; -2). 1) Начертите этот прямоугольник. 2) Найдите координаты вершины В. 3) Найдите координаты точки пересечения диагоналей прямоугольника. 4) Вычислите площадь и периметр прямоугольника, считая, что длина единичного отрезка координатных осей равна 1 см.

Решение:

Даны координаты вершин прямоугольника ABCD: A(-4; -2), C(2; 4), D(2; -2).

1. Построение прямоугольника:

   Отметим данные точки на координатной плоскости. Ось X (абсцисс) — горизонтальная, ось Y (ординат) — вертикальная. Для построения прямоугольника нам нужно найти координаты вершины B. Поскольку ABCD — прямоугольник, то векторы AB и DC равны, а векторы AD и BC равны.

   Вектор DC = (2-2; 4-(-2)) = (0; 6).

   Пусть координаты точки B будут (x; y). Тогда вектор AB = (x - (-4); y - (-2)) = (x+4; y+2).

   Приравнивая векторы AB и DC, получаем:

   x + 4 = 0 => x = -4

   y + 2 = 6 => y = 4

   Таким образом, координаты вершины B: (-4; 4).

2. Координаты вершины B:

   Координаты вершины B: (-4; 4).

3. Координаты точки пересечения диагоналей:

   Диагонали прямоугольника пересекаются в точке, которая является серединой каждой из диагоналей. Найдем середину диагонали AC.

   Середина AC = ( (x_A + x_C)/2 ; (y_A + y_C)/2 ) = ( (-4 + 2)/2 ; (-2 + 4)/2 ) = ( -2/2 ; 2/2 ) = (-1; 1).

   Проверим, является ли эта точка серединой диагонали BD:

   Середина BD = ( (x_B + x_D)/2 ; (y_B + y_D)/2 ) = ( (-4 + 2)/2 ; (4 + (-2))/2 ) = ( -2/2 ; 2/2 ) = (-1; 1).

   Точка пересечения диагоналей имеет координаты (-1; 1).

4. Площадь и периметр прямоугольника:

   Длина стороны AD:

   AD = \( \sqrt{(2 - (-4))^2 + (-2 - (-2))^2} \) = \( \sqrt{(2+4)^2 + (-2+2)^2} \) = \( \sqrt{6^2 + 0^2} \) = \( \sqrt{36} \) = 6 см.

   Длина стороны AB:

   AB = \( \sqrt{(-4 - (-4))^2 + (4 - (-2))^2} \) = \( \sqrt{(-4+4)^2 + (4+2)^2} \) = \( \sqrt{0^2 + 6^2} \) = \( \sqrt{36} \) = 6 см.

   Длина стороны CD:

   CD = \( \sqrt{(2 - 2)^2 + (4 - (-2))^2} \) = \( \sqrt{(2-2)^2 + (4+2)^2} \) = \( \sqrt{0^2 + 6^2} \) = \( \sqrt{36} \) = 6 см.

   Длина стороны BC:

   BC = \( \sqrt{(2 - (-4))^2 + (4 - 4)^2} \) = \( \sqrt{(2+4)^2 + (4-4)^2} \) = \( \sqrt{6^2 + 0^2} \) = \( \sqrt{36} \) = 6 см.

   Поскольку все стороны равны 6 см, это квадрат. Площадь квадрата равна стороне в квадрате:

   Площадь = AD * AB = 6 см * 6 см = 36 см².

   Периметр квадрата равен сумме длин всех сторон:

   Периметр = 4 * AD = 4 * 6 см = 24 см.

Ответ: Координаты вершины B: (-4; 4). Координаты точки пересечения диагоналей: (-1; 1). Площадь прямоугольника: 36 см². Периметр прямоугольника: 24 см.