Даны координаты вершин четырёхугольника ABCD: A(4;5), В(7; – 1), C(0; – 1), D(-3; 5). Пользуясь рисунком, найдите координаты точки пересечения диагоналей построенного четырёхугольника ABCD.

Привет! Давай разберемся с этой задачей по геометрии. Нам даны координаты четырех точек, которые являются вершинами четырёхугольника ABCD. Нужно найти точку, где пересекаются его диагонали.

1. Диагонали четырёхугольника

• Диагонали четырёхугольника — это отрезки, которые соединяют противоположные вершины. В нашем случае это диагонали AC и BD.

2. Находим координаты точки пересечения

Самый простой способ найти точку пересечения диагоналей — это найти уравнения прямых, которые соответствуют этим диагоналям, и решить систему уравнений.

2.1. Уравнение диагонали AC

• Вершины: A(4; 5) и C(0; -1).
• Формула уравнения прямой, проходящей через две точки (x₁; y₁) и (x₂; y₂): \[ \frac{x - x_1}{x_2 - x_1} = \frac{y - y_1}{y_2 - y_1} \]
• Подставляем координаты точек A и C:
\[ \frac{x - 4}{0 - 4} = \frac{y - 5}{-1 - 5} \] \[ \frac{x - 4}{-4} = \frac{y - 5}{-6} \] Умножаем обе части на -12 (наименьшее общее кратное для -4 и -6), чтобы избавиться от знаменателей: \[ 3(x - 4) = 2(y - 5) \] \[ 3x - 12 = 2y - 10 \] \[ 3x - 2y = 2 \]

2.2. Уравнение диагонали BD

• Вершины: B(7; -1) и D(-3; 5).
• Подставляем координаты точек B и D: \[ \frac{x - 7}{-3 - 7} = \frac{y - (-1)}{5 - (-1)} \] \[ \frac{x - 7}{-10} = \frac{y + 1}{6} \]
• Умножаем обе части на 30 (наименьшее общее кратное для -10 и 6): \[ -3(x - 7) = 5(y + 1) \] \[ -3x + 21 = 5y + 5 \] \[ -3x - 5y = -16 \] \[ 3x + 5y = 16 \]

2.3. Решаем систему уравнений

• У нас получилась система: \[ \begin{cases} 3x - 2y = 2 \\ 3x + 5y = 16 \end{cases} \]
• Вычтем первое уравнение из второго, чтобы исключить x: \[ (3x + 5y) - (3x - 2y) = 16 - 2 \] \[ 7y = 14 \] \[ y = 2 \]
• Теперь подставим значение y = 2 в первое уравнение: \[ 3x - 2(2) = 2 \] \[ 3x - 4 = 2 \] \[ 3x = 6 \] \[ x = 2 \]

3. Проверка по рисунку

Координаты точки пересечения диагоналей получились (2; 0). Давай посмотрим на рисунок. Точка с координатами (2; 0) действительно находится на пересечении диагоналей AC и BD.

Ответ: (2; 0)