Даны координаты вершин четырёхугольника ABCD: A(9;5), В(10; – 2), C(-3; – 1), D(-5; 3). Пользуясь рисунком, найдите координаты точки пересечения диагоналей построенного четырёхугольника ABCD.

Пошаговое решение:

• Диагональ AC:
• Уравнение прямой, проходящей через точки A(9;5) и C(-3;-1):
• Найдём угловой коэффициент: \( m_{AC} = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{-1 - 5}{-3 - 9} = \frac{-6}{-12} = \frac{1}{2} \)
• Уравнение прямой: \( y - y_1 = m(x - x_1) \)
• \( y - 5 = \frac{1}{2}(x - 9) \)
• \( 2(y - 5) = x - 9 \)
• \( 2y - 10 = x - 9 \)
• \( x - 2y + 1 = 0 \)
• Диагональ BD:
• Уравнение прямой, проходящей через точки B(10;-2) и D(-5;3):
• Найдём угловой коэффициент: \( m_{BD} = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{3 - (-2)}{-5 - 10} = \frac{5}{-15} = -\frac{1}{3} \)
• Уравнение прямой: \( y - y_1 = m(x - x_1) \)
• \( y - (-2) = -\frac{1}{3}(x - 10) \)
• \( y + 2 = -\frac{1}{3}(x - 10) \)
• \( 3(y + 2) = -(x - 10) \)
• \( 3y + 6 = -x + 10 \)
• \( x + 3y - 4 = 0 \)
• Система уравнений:
• \( \begin{cases} x - 2y + 1 = 0 \\ x + 3y - 4 = 0 \end{cases} \)
• Выразим x из первого уравнения: \( x = 2y - 1 \)
• Подставим во второе уравнение: \( (2y - 1) + 3y - 4 = 0 \)
• \( 5y - 5 = 0 \)
• \( 5y = 5 \)
• \( y = 1 \)
• Подставим y = 1 в \( x = 2y - 1 \):
• \( x = 2(1) - 1 \)
• \( x = 1 \)

Ответ: Точка пересечения диагоналей имеет координаты (1; 1).