Даны координаты вершин пирамиды А1, А2, А3, А4. Найти: 1) длину ребра А1, А2; 2) угол между ребрами А1, А2 и А1А4; 3) угол между ребром А1А4 и гранью А₁А₂А3; 4) площадь грани А₁А₂А₃; 5) объём пирамиды; 6) уравнение прямой А1А2; 7) уравнение плоскости А1А2 А3; 8) уравнение высоты, опущенной из вершины A₄ на грань А₁А₂ А₃. Сделать чертеж. А₁(−3; −5;6), A₂ (2;1;-4), 43 (0; −3; −1), A₁ (-5;2; -8).

Решение:

1. Длина ребра А₁А₂:
   
   Координаты точек: А₁(-3; -5; 6), А₂(2; 1; -4).
   Длина ребра находится по формуле: $$|A_1A_2| = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2}$$
   $$|A_1A_2| = \sqrt{(2 - (-3))^2 + (1 - (-5))^2 + (-4 - 6)^2} = \sqrt{5^2 + 6^2 + (-10)^2} = \sqrt{25 + 36 + 100} = \sqrt{161}$$
   


2. Угол между ребрами А₁А₂ и А₁А₄:
   
   Координаты точек: А₁(-3; -5; 6), А₂(2; 1; -4), А₄(-5; 2; -8).
   Вектор А₁А₂ = (2 - (-3); 1 - (-5); -4 - 6) = (5; 6; -10).
   Вектор А₁А₄ = (-5 - (-3); 2 - (-5); -8 - 6) = (-2; 7; -14).
   Косинус угла между векторами находится по формуле:
   $$cos(\alpha) = \frac{(A_1A_2 \cdot A_1A_4)}{|A_1A_2| \cdot |A_1A_4|}$$
   Скалярное произведение А₁А₂ ⋅ А₁А₄ = (5 * -2) + (6 * 7) + (-10 * -14) = -10 + 42 + 140 = 172.
   Длина вектора А₁А₂ = √161 (вычислено в пункте 1).
   Длина вектора А₁А₄ = $$ \sqrt{(-2)^2 + 7^2 + (-14)^2} = \sqrt{4 + 49 + 196} = \sqrt{249}$$.
   
   $$cos(\alpha) = \frac{172}{\sqrt{161} \cdot \sqrt{249}} = \frac{172}{\sqrt{40089}} ≈ \frac{172}{200.22} ≈ 0.859$$.
   
   $$\alpha = arccos(0.859) ≈ 30.79°$$
   


3. Угол между ребром А₁А₄ и гранью А₁А₂А₃:
   
   Координаты точек: А₁(-3; -5; 6), А₂(2; 1; -4), А₃(0; -3; -1), А₄(-5; 2; -8).
   Вектор А₁А₄ = (-2; 7; -14) (вычислено в пункте 2).
   Векторы, лежащие в плоскости А₁А₂А₃: А₁А₂ = (5; 6; -10), А₁А₃ = (0 - (-3); -3 - (-5); -1 - 6) = (3; 2; -7).
   Нормаль к плоскости А₁А₂А₃ = векторное произведение А₁А₂ и А₁А₃:
   $$\vec{n} = A_1A_2 \times A_1A_3 = ( (6 \cdot -7) - (-10 \cdot 2); (-10 \cdot 3) - (5 \cdot -7); (5 \cdot 2) - (6 \cdot 3) ) = (-42 + 20; -30 + 35; 10 - 18) = (-22; 5; -8)$$.
   
   Синус угла между вектором А₁А₄ и плоскостью А₁А₂А₃:
   $$sin(\beta) = \frac{|A_1A_4 \cdot n|}{|A_1A_4| \cdot |n|}$$
   Скалярное произведение А₁А₄ ⋅ n = (-2 * -22) + (7 * 5) + (-14 * -8) = 44 + 35 + 112 = 191.
   Длина вектора А₁А₄ = √249 (вычислено в пункте 2).
   Длина вектора n = $$ \sqrt{(-22)^2 + 5^2 + (-8)^2} = \sqrt{484 + 25 + 64} = \sqrt{573}$$.
   
   $$sin(\beta) = \frac{|191|}{\sqrt{249} \cdot \sqrt{573}} = \frac{191}{\sqrt{142677}} ≈ \frac{191}{377.72} ≈ 0.506$$.
   
   $$\beta = arcsin(0.506) ≈ 30.40°$$
   


4. Площадь грани А₁А₂А₃:
   
   Координаты точек: А₁(-3; -5; 6), А₂(2; 1; -4), А₃(0; -3; -1).
   Векторы А₁А₂ = (5; 6; -10), А₁А₃ = (3; 2; -7).
   Нормаль к плоскости А₁А₂А₃ (векторное произведение А₁А₂ и А₁А₃) = (-22; 5; -8) (вычислено в пункте 3).
   Площадь грани А₁А₂А₃ = 1/2 * |n| = 1/2 * $$ \sqrt{(-22)^2 + 5^2 + (-8)^2} = \frac{1}{2} \sqrt{573} ≈ \frac{1}{2} \cdot 23.94 ≈ 11.97$$
   


5. Объём пирамиды:
   
   Координаты точек: А₁(-3; -5; 6), А₂(2; 1; -4), А₃(0; -3; -1), А₄(-5; 2; -8).
   Объём пирамиды = 1/6 * |смешанное произведение (А₁А₂, А₁А₃, А₁А₄)|.
   
   Векторы А₁А₂ = (5; 6; -10), А₁А₃ = (3; 2; -7), А₁А₄ = (-2; 7; -14).
   Смешанное произведение (А₁А₂, А₁А₃, А₁А₄) = (А₁А₂ × А₁А₃) ⋅ А₁А₄ = n ⋅ А₁А₄ = (-22; 5; -8) ⋅ (-2; 7; -14) = 191 (вычислено в пункте 3).
   Объём пирамиды = 1/6 * |191| = 191/6 ≈ 31.83
   


6. Уравнение прямой А₁А₂:
   
   Координаты точек: А₁(-3; -5; 6), А₂(2; 1; -4).
   Вектор А₁А₂ = (5; 6; -10).
   Каноническое уравнение прямой: $$\frac{x - x_1}{a} = \frac{y - y_1}{b} = \frac{z - z_1}{c}$$
   $$\frac{x + 3}{5} = \frac{y + 5}{6} = \frac{z - 6}{-10}$$
   


7. Уравнение плоскости А₁А₂А₃:
   
   Координаты точек: А₁(-3; -5; 6), А₂(2; 1; -4), А₃(0; -3; -1).
   Векторы А₁А₂ = (5; 6; -10), А₁А₃ = (3; 2; -7).
   Нормаль к плоскости А₁А₂А₃ = (-22; 5; -8) (вычислено в пункте 3).
   Уравнение плоскости: A(x - x₁) + B(y - y₁) + C(z - z₁) = 0.
   
   -22(x + 3) + 5(y + 5) - 8(z - 6) = 0.
   
   -22x - 66 + 5y + 25 - 8z + 48 = 0.
   
   -22x + 5y - 8z + 7 = 0.
   22x - 5y + 8z - 7 = 0.
   


8. Уравнение высоты, опущенной из вершины A₄ на грань А₁А₂А₃:
   
   Координаты точки: А₄(-5; 2; -8).
   Нормаль к плоскости А₁А₂А₃ = (-22; 5; -8).
   Параметрическое уравнение прямой (высоты):
   x = x₄ + At, y = y₄ + Bt, z = z₄ + Ct.
   x = -5 - 22t, y = 2 + 5t, z = -8 - 8t.
   

Чертёж пирамиды (схематично):

       A4
      /|\
     / | \
    /  |  \
   /   |   \
  /    |    \
 /-----|-----\
A1-----|-----A2
 \    |    /
  \   |   /
   \  |  /
    \ | /
     \|/
      A3

Ответ: 1) √161; 2) 30.79°; 3) 30.40°; 4) 11.97; 5) 31.83; 6) $$\frac{x + 3}{5} = \frac{y + 5}{6} = \frac{z - 6}{-10}$$; 7) 22x - 5y + 8z - 7 = 0; 8) x = -5 - 22t, y = 2 + 5t, z = -8 - 8t