060 Даны координаты вершин трапеции ABCD: A (-2; -2), В(-3; 1), C (7; 7) и D (3; 1). Напишите уравнения прямых, содержащих: а) диагонали АС и BD трапеции; б) среднюю линию трапеции. Отра

Для решения данной задачи необходимо:

1. Составить уравнения прямых, содержащих диагонали AC и BD трапеции.
2. Найти координаты точек, являющихся серединами боковых сторон трапеции.
3. Составить уравнение прямой, проходящей через найденные точки, которая будет средней линией трапеции.

а) Уравнение прямой, проходящей через две точки, имеет вид:

$$\frac{y - y_1}{y_2 - y_1} = \frac{x - x_1}{x_2 - x_1}$$

Для диагонали AC:

$$A(-2; -2), C(7; 7)$$

$$\frac{y - (-2)}{7 - (-2)} = \frac{x - (-2)}{7 - (-2)}$$

$$\frac{y + 2}{9} = \frac{x + 2}{9}$$

$$y + 2 = x + 2$$

$$y = x$$

Для диагонали BD:

$$B(-3; 1), D(3; 1)$$

$$\frac{y - 1}{1 - 1} = \frac{x - (-3)}{3 - (-3)}$$

Так как знаменатель в левой части равен 0, прямая является горизонтальной, поэтому уравнение имеет вид:

$$y = 1$$

б) Средняя линия трапеции проходит через середины боковых сторон. Найдем координаты середин боковых сторон AB и CD.

Середина отрезка находится по формуле:

$$(\frac{x_1 + x_2}{2}; \frac{y_1 + y_2}{2})$$

Для стороны AB:

$$A(-2; -2), B(-3; 1)$$

$$M_{AB} = (\frac{-2 + (-3)}{2}; \frac{-2 + 1}{2}) = (\frac{-5}{2}; \frac{-1}{2}) = (-2.5; -0.5)$$

Для стороны CD:

$$C(7; 7), D(3; 1)$$

$$M_{CD} = (\frac{7 + 3}{2}; \frac{7 + 1}{2}) = (\frac{10}{2}; \frac{8}{2}) = (5; 4)$$

Теперь найдем уравнение прямой, проходящей через точки $$M_{AB}(-2.5; -0.5)$$ и $$M_{CD}(5; 4)$$.

$$\frac{y - (-0.5)}{4 - (-0.5)} = \frac{x - (-2.5)}{5 - (-2.5)}$$

$$\frac{y + 0.5}{4.5} = \frac{x + 2.5}{7.5}$$

$$7.5(y + 0.5) = 4.5(x + 2.5)$$

$$7.5y + 3.75 = 4.5x + 11.25$$

$$7.5y = 4.5x + 7.5$$

$$y = \frac{4.5}{7.5}x + 1$$

$$y = 0.6x + 1$$

Ответ:

а) AC: $$y = x$$

BD: $$y = 1$$

б) Средняя линия: $$y = 0.6x + 1$$