Даны прямая а, точка В, не лежащая на ней, и отрезок РQ. Постройте точку М на прямой а так, чтобы ВМ = PQ. Всегда ли задача имеет решение?

Анализ задачи:

Задача состоит в том, чтобы найти точку M на прямой a, расстояние от которой до точки B равно длине отрезка PQ. Необходимо определить, всегда ли существует такая точка M.

Решение:

1. Проведём прямую a и отметим точку B вне этой прямой.
2. Построим окружность с центром в точке B и радиусом, равным длине отрезка PQ.
3. Если окружность пересекает прямую a, то точки пересечения и будут искомыми точками M. В общем случае, таких точек может быть две.
4. Если окружность касается прямой a, то существует только одна точка M, удовлетворяющая условию задачи.
5. Если окружность не пересекает прямую a, то точек M, удовлетворяющих условию, не существует.

Ответ: Задача имеет решение, когда окружность с центром в точке B и радиусом PQ пересекает прямую a. Если окружность не пересекает прямую a, задача не имеет решения. Таким образом, не всегда задача имеет решение.