Даны прямая и точка на ней. Построить прямую, проходящую через данную точку и перпендикулярную к данной прямой.

Решение:

Задача: Построить прямую, проходящую через данную точку M и перпендикулярную к данной прямой a.

Построение:

1. На лучах прямой a, исходящих из точки M, отложим равные отрезки MA и MB.
2. Построим две окружности с центрами A и B радиуса AB. Эти окружности пересекутся в двух точках: P и Q.
3. Проведём прямую через точку M и одну из точек пересечения (например, P). Прямая MP — искомая.

Доказательство:

Рассмотрим треугольник PAB. PA = PB (как радиусы равных окружностей), следовательно, треугольник PAB — равнобедренный. AM = MB по построению. В равнобедренном треугольнике PAB отрезок PM является медианой, проведённой к основанию AB. В равнобедренном треугольнике медиана, проведённая к основанию, является также высотой. Следовательно, PM перпендикулярна к прямой AB (то есть к прямой a).

Ответ: Прямая MP проходит через точку M и перпендикулярна к прямой a.