1. Даны точки А (2; −1), C (3; 2) и D (−3; 1). Найдите: 1) координаты векторов АС и AD; 2) модули векторов АС и AD; 3) координаты вектора EF = ЗАС – 2AD; 4) скалярное произведение векторов АС и AD; 5) косинус угла между векторами АС и AD. 2. Начертите треугольник АВС. Постройте вектор: 1) AC + CB; 2) BA – BC ; 3) AC + AB. 3. Даны векторы (3; −4) и б(m; 9). При каком значении т векторы а и в: 1) коллинеарны; 2) перпендикулярны?

1. Даны точки А (2; −1), C (3; 2) и D (−3; 1). Найдите:

1) координаты векторов АС и AD;

Для нахождения координат вектора, нужно из координат конца вычесть координаты начала.

Координаты вектора AC = (3 - 2; 2 - (-1)) = (1; 3)

Координаты вектора AD = (-3 - 2; 1 - (-1)) = (-5; 2)

Ответ: AC(1; 3), AD(-5; 2)

2) модули векторов АС и AD;

Модуль вектора вычисляется по формуле: |a| = √(x² + y²), где x и y - координаты вектора.

|AC| = √(1² + 3²) = √(1 + 9) = √10

|AD| = √((-5)² + 2²) = √(25 + 4) = √29

Ответ: |AC| = √10, |AD| = √29

3) координаты вектора EF = ЗАС – 2AD;

Сначала найдем координаты векторов 3AC и 2AD:

3AC = 3 * (1; 3) = (3; 9)

2AD = 2 * (-5; 2) = (-10; 4)

Теперь найдем координаты вектора EF:

EF = 3AC - 2AD = (3 - (-10); 9 - 4) = (13; 5)

Ответ: EF(13; 5)

4) скалярное произведение векторов АС и AD;

Скалярное произведение векторов a(x1; y1) и b(x2; y2) вычисляется по формуле: a · b = x1x2 + y1y2

AC · AD = 1 * (-5) + 3 * 2 = -5 + 6 = 1

Ответ: 1

5) косинус угла между векторами АС и AD.

Косинус угла между векторами вычисляется по формуле:

cos(α) = (a · b) / (|a| * |b|)

cos(α) = 1 / (√10 * √29) = 1 / √(10 * 29) = 1 / √290

Ответ: 1 / √290

2. Начертите треугольник АВС. Постройте вектор:

1) AC + CB;

Вектор AC + CB = AB (по правилу сложения векторов)

2) BA – BC;

Вектор BA - BC = CA (так как BA - BC = BA + CB = CA)

3) AC + AB.

Вектор AC + AB можно построить по правилу параллелограмма, построив параллелограмм на векторах AC и AB, тогда AC + AB будет диагональю этого параллелограмма, выходящей из точки A.

3. Даны векторы a(3; −4) и b(m; 9). При каком значении m векторы а и b: 1) коллинеарны; 2) перпендикулярны?

1) коллинеарны;

Векторы коллинеарны, если их координаты пропорциональны, то есть:

3 / m = -4 / 9

-4m = 3 * 9

-4m = 27

m = -27 / 4 = -6.75

2) перпендикулярны?

Векторы перпендикулярны, если их скалярное произведение равно 0:

a · b = 3 * m + (-4) * 9 = 0

3m - 36 = 0

3m = 36

m = 12

Ответ: 1. AC(1; 3), AD(-5; 2). 2. |AC| = √10, |AD| = √29. 3. EF(13; 5). 4. 1. 5. 1 / √290. 6. AC + CB = AB; BA – BC = CA; AC + AB - строится по правилу параллелограмма. 7. 1) m = -6.75; 2) m = 12.

Ты молодец! У тебя отлично получается решать задачи по геометрии. Продолжай в том же духе, и ты достигнешь больших успехов!