4. Даны точки А (2; 4), B (1; 3), C (1,75; 1,25), D (3; 0). а. Найдите координаты векторов АВ и CD. b. Найдите угол между векторами АВ и CD. c. Найдите модули векторов АВ и BD. 5. Начертите треугольник АВС. Постройте вектор: a. CA + AB. b. BC - BA. с. BA + BC. 6. Даны векторы т (4;14) и ที (-7;k). При каком значе 1) коллинеарны; 2) перпендикулярны?

Решение задания 4

Давай решим эту задачу по геометрии! Начнем с векторов и координат.

a. Координаты векторов \[\overrightarrow{AB}\] и \[\overrightarrow{CD}\]

Чтобы найти координаты вектора, нужно из координат конца вычесть координаты начала. Поехали!

• \[\overrightarrow{AB} = (1 - 2; 3 - 4) = (-1; -1)\]
• \[\overrightarrow{CD} = (3 - 1.75; 0 - 1.25) = (1.25; -1.25)\]

b. Угол между векторами \[\overrightarrow{AB}\] и \[\overrightarrow{CD}\]

Угол между векторами можно найти через скалярное произведение и модули векторов. Сначала найдем скалярное произведение:

\[\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{CD} = (-1) \cdot (1.25) + (-1) \cdot (-1.25) = -1.25 + 1.25 = 0\]

Раз скалярное произведение равно 0, векторы перпендикулярны. Значит, угол между ними 90 градусов.

c. Модули векторов \[\overrightarrow{AB}\] и \[\overrightarrow{BD}\]

Модуль вектора находится как корень из суммы квадратов его координат:

• \[|\overrightarrow{AB}| = \sqrt{(-1)^2 + (-1)^2} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}\]
• \[\overrightarrow{BD} = (3 - 1; 0 - 3) = (2; -3)\]
• \[|\overrightarrow{BD}| = \sqrt{2^2 + (-3)^2} = \sqrt{4 + 9} = \sqrt{13}\]

Решение задания 5

Теперь давай построим треугольник и векторы. К сожалению, я не могу нарисовать это здесь, но я могу объяснить, как это сделать.

a. \[\overrightarrow{CA} + \overrightarrow{AB}\]

Чтобы сложить векторы \[\overrightarrow{CA}\] и \[\overrightarrow{AB}\] , нужно сложить их координаты. Но сначала найдем координаты вектора \[\overrightarrow{CA}\]:

\[\overrightarrow{CA} = (2 - 1.75; 4 - 1.25) = (0.25; 2.75)\]

Затем сложим векторы \[\overrightarrow{CA}\] и \[\\\overrightarrow{AB}\]:

\[\overrightarrow{CA} + \overrightarrow{AB} = (0.25 - 1; 2.75 - 1) = (-0.75; 1.75)\]

b. \[\,\overrightarrow{BC} - \overrightarrow{BA}\]

Сначала найдем координаты вектора \[\,\overrightarrow{BC}\]:

\[\,\overrightarrow{BC} = (1.75 - 1; 1.25 - 3) = (0.75; -1.75)\]

Теперь найдем координаты вектора \[\,\overrightarrow{BA}\]:

\[\,\overrightarrow{BA} = (2 - 1; 4 - 3) = (1; 1)\]

Затем вычтем векторы \[\,\overrightarrow{BC}\] и \[\,\overrightarrow{BA}\]:

\[\,\overrightarrow{BC} - \overrightarrow{BA} = (0.75 - 1; -1.75 - 1) = (-0.25; -2.75)\]

c. \[\,\overrightarrow{BA} + \overrightarrow{BC}\]

Мы уже знаем координаты векторов \[\,\overrightarrow{BA}\] и \[\,\overrightarrow{BC}\]:

\[\,\overrightarrow{BA} = (1; 1)\] \[\,\overrightarrow{BC} = (0.75; -1.75)\]

Сложим векторы \[\,\overrightarrow{BA}\] и \[\,\overrightarrow{BC}\]:

\[\,\overrightarrow{BA} + \overrightarrow{BC} = (1 + 0.75; 1 - 1.75) = (1.75; -0.75)\]

Решение задания 6

Теперь перейдем к векторам \(\,\overrightarrow{m}\) и \(\,\overrightarrow{n}\). Нам нужно найти значение \(k\), при котором они коллинеарны и перпендикулярны.

1) Коллинеарность

Векторы коллинеарны, если их координаты пропорциональны:

\[\frac{4}{-7} = \frac{14}{k}\]

Решим это уравнение:

\[4k = -7 \cdot 14\] \[4k = -98\] \[k = -\frac{98}{4} = -24.5\]

2) Перпендикулярность

Векторы перпендикулярны, если их скалярное произведение равно нулю:

\[\,\overrightarrow{m} \cdot \overrightarrow{n} = 4 \cdot (-7) + 14 \cdot k = 0\] \[-28 + 14k = 0\] \[14k = 28\] \[k = \frac{28}{14} = 2\]

Ответ:

• 4.a) \(\,\overrightarrow{AB} = (-1; -1)\), \(\,\overrightarrow{CD} = (1.25; -1.25)\)
• 4.b) Угол 90 градусов
• 4.c) \(|\,\overrightarrow{AB}| = \sqrt{2}\), \(|\,\overrightarrow{BD}| = \sqrt{13}\)
• 5.a) \(\,\overrightarrow{CA} + \overrightarrow{AB} = (-0.75; 1.75)\)
• 5.b) \(\,\overrightarrow{BC} - \overrightarrow{BA} = (-0.25; -2.75)\)
• 5.c) \(\,\overrightarrow{BA} + \overrightarrow{BC} = (1.75; -0.75)\)
• 6.1) \(k = -24.5\) (коллинеарны)
• 6.2) \(k = 2\) (перпендикулярны)

Ответ: координаты векторов, углы и модули найдены, условие коллинеарности и перпендикулярности определены.

Молодец! Ты отлично справился с этой задачей. Продолжай в том же духе, и у тебя все получится!