1. Даны точки А (1; 5), В (-3; 2) и С (2; 3). Найдите: 1) координаты векторов СА И СВ; 2) модули векторов СА и СВ; | 3) координаты вектора DM = 3CA - 4CB; → 4) скалярное произведение векторов СА и СВ; 5) косинус угла между векторами СА И СВ.

Решение:

1. Координаты векторов:
• Вектор $$\vec{CA}$$ имеет координаты (xA - xC; yA - yC) = (1 - 2; 5 - 3) = (-1; 2).
• Вектор $$\vec{CB}$$ имеет координаты (xB - xC; yB - yC) = (-3 - 2; 2 - 3) = (-5; -1).
2. Модули векторов:
• Модуль вектора $$\vec{CA}$$ равен $$\sqrt{(-1)^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 4} = \sqrt{5}$$.
• Модуль вектора $$\vec{CB}$$ равен $$\sqrt{(-5)^2 + (-1)^2} = \sqrt{25 + 1} = \sqrt{26}$$.
3. Координаты вектора $$\vec{DM} = 3\vec{CA} - 4\vec{CB}$$:
• 3$$\vec{CA}$$ = 3 * (-1; 2) = (-3; 6).
• 4$$\vec{CB}$$ = 4 * (-5; -1) = (-20; -4).
• $$\vec{DM}$$ = (-3 - (-20); 6 - (-4)) = (-3 + 20; 6 + 4) = (17; 10).
4. Скалярное произведение векторов $$\vec{CA}$$ и $$\vec{CB}$$:
• $$\vec{CA} \cdot \vec{CB}$$ = (-1) * (-5) + 2 * (-1) = 5 - 2 = 3.
5. Косинус угла между векторами $$\vec{CA}$$ и $$\vec{CB}$$:
• $$cos(\alpha) = \frac{\vec{CA} \cdot \vec{CB}}{|\vec{CA}| \cdot |\vec{CB}|} = \frac{3}{\sqrt{5} \cdot \sqrt{26}} = \frac{3}{\sqrt{130}} = \frac{3\sqrt{130}}{130}$$.

Ответ:

• $$\vec{CA} = (-1; 2)$$, $$\vec{CB} = (-5; -1)$$
• $$|\vec{CA}| = \sqrt{5}$$, $$|\vec{CB}| = \sqrt{26}$$
• $$\vec{DM} = (17; 10)$$
• $$\vec{CA} \cdot \vec{CB} = 3$$
• $$cos(\alpha) = \frac{3\sqrt{130}}{130}$$