1. Даны точки А(-2; 3), B(1; 7), C(-4; 1). 1. Найдите координаты векторов АВ и АС. 2. Найдите длины векторов |AB|и | АС). MR = 3AB - 2AC. 3. Найдите координаты вектора MK 4. Найдите скалярное произведение АВАС. 2. Начертите треугольник АВС. Постройте вектор: 1. BA + AC 2. BC - BÀ 3. CA+CB 3. Даны векторы (4; 3) и б(-6; k). При каком значении к векторы перг 4. Прямоугольник ABCD задан координатами: A(1; 1), B(7; 1), C(7; 5 1. Найдите координаты вершины Д. 2. Найдите длины диагоналей АС и BD.

1. Координаты векторов и длины

Даны точки A(-2; 3), B(1; 7), C(-4; 1).

1. Найдем координаты векторов AB и AC:

Координаты вектора AB находятся как разность координат конца и начала вектора: \[AB = (1 - (-2); 7 - 3) = (3; 4)\]

Аналогично для вектора AC: \[AC = (-4 - (-2); 1 - 3) = (-2; -2)\]

2. Найдем длины векторов |AB| и |AC|:

Длина вектора находится по формуле \(|AB| = \sqrt{x^2 + y^2}\), где x и y - координаты вектора.

Для вектора AB: \[|AB| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5\]

Для вектора AC: \[|AC| = \sqrt{(-2)^2 + (-2)^2} = \sqrt{4 + 4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}\]

3. Найдем координаты вектора MK = 3AB - 2AC:

Сначала найдем 3AB и 2AC: \[3AB = 3 \cdot (3; 4) = (9; 12)\] \[2AC = 2 \cdot (-2; -2) = (-4; -4)\]

Теперь найдем MK: \[MK = (9 - (-4); 12 - (-4)) = (13; 16)\]

4. Найдем скалярное произведение AB · AC:

Скалярное произведение находится по формуле \[AB \cdot AC = x_1x_2 + y_1y_2\), где \((x_1; y_1)\) и \((x_2; y_2)\) - координаты векторов.

Тогда \[AB \cdot AC = 3 \cdot (-2) + 4 \cdot (-2) = -6 - 8 = -14\]

2. Построение треугольника и векторов

Начертите треугольник ABC с вершинами A(-2; 3), B(1; 7), C(-4; 1). Постройте векторы:

1. BA + AC:

Вектор BA = -AB = (-3; -4). \[BA + AC = (-3 + (-2); -4 + (-2)) = (-5; -6)\]

2. BC - BA:

Вектор BC = (-4 - 1; 1 - 7) = (-5; -6). \[BC - BA = (-5 - (-3); -6 - (-4)) = (-2; -2)\]

3. CA + CB:

Вектор CA = -AC = (2; 2). Вектор CB = -BC = (5; 6). \[CA + CB = (2 + 5; 2 + 6) = (7; 8)\]

3. Перпендикулярные векторы

Даны векторы \(\vec{a}(4; 3)\) и \(\vec{b}(-6; k)\). При каком значении k векторы перпендикулярны?

Векторы перпендикулярны, если их скалярное произведение равно нулю: \[\vec{a} \cdot \vec{b} = 4 \cdot (-6) + 3 \cdot k = 0\] \[-24 + 3k = 0\] \[3k = 24\] \[k = 8\]

4. Прямоугольник ABCD

Прямоугольник ABCD задан координатами: A(1; 1), B(7; 1), C(7; 5).

1. Найдем координаты вершины D:

Поскольку ABCD - прямоугольник, то AD || BC и AB || CD. Вектор BC = (7 - 7; 5 - 1) = (0; 4). Тогда AD = BC = (0; 4). Координаты точки D: (1 + 0; 1 + 4) = (1; 5).

2. Найдем длины диагоналей AC и BD:

Длина диагонали AC: \[AC = \sqrt{(7 - 1)^2 + (5 - 1)^2} = \sqrt{6^2 + 4^2} = \sqrt{36 + 16} = \sqrt{52} = 2\sqrt{13}\]

Длина диагонали BD: \[BD = \sqrt{(7 - 1)^2 + (1 - 5)^2} = \sqrt{6^2 + (-4)^2} = \sqrt{36 + 16} = \sqrt{52} = 2\sqrt{13}\]

Ответ: Все решения выше.