Даны точки А(-1; 5;3), B(-1;-3;9), C(3;-2;6). Доказать, что треугольник АВС - прямоугольный.

Чтобы доказать, что треугольник ABC прямоугольный, мы можем использовать теорему Пифагора или проверить, что векторы двух сторон треугольника перпендикулярны (их скалярное произведение равно нулю).

1. Найдем векторы сторон треугольника:

• Вектор AB: $$AB = B - A = (-1 - (-1); -3 - 5; 9 - 3) = (0; -8; 6)$$


• Вектор BC: $$BC = C - B = (3 - (-1); -2 - (-3); 6 - 9) = (4; 1; -3)$$


• Вектор AC: $$AC = C - A = (3 - (-1); -2 - 5; 6 - 3) = (4; -7; 3)$$

2. Проверим скалярное произведение векторов:

• Скалярное произведение AB и BC: $$AB \cdot BC = (0)(4) + (-8)(1) + (6)(-3) = 0 - 8 - 18 = -26 \neq 0$$


• Скалярное произведение AB и AC: $$AB \cdot AC = (0)(4) + (-8)(-7) + (6)(3) = 0 + 56 + 18 = 74 \neq 0$$


• Скалярное произведение BC и AC: $$BC \cdot AC = (4)(4) + (1)(-7) + (-3)(3) = 16 - 7 - 9 = 0$$

Так как скалярное произведение векторов BC и AC равно 0, векторы BC и AC перпендикулярны. Это означает, что угол C является прямым углом.

3. Вывод:

Треугольник ABC является прямоугольным, так как векторы BC и AC перпендикулярны.