Даны точки А(-1; 5;3), B(-1;-3;9), C(3;-2;6). Доказать, что треугольник АВС - прямоугольный.

Для доказательства того, что треугольник ABC прямоугольный, нам нужно проверить, выполняется ли теорема Пифагора для длин его сторон. Сначала найдем длины сторон, используя координаты точек.

Расстояние между двумя точками $$A(x_1, y_1, z_1)$$ и $$B(x_2, y_2, z_2)$$ в трехмерном пространстве вычисляется по формуле:

$$
AB = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2}
$$

1. Найдем длину стороны AB:

$$
AB = \sqrt{(-1 - (-1))^2 + (-3 - 5)^2 + (9 - 3)^2} = \sqrt{0^2 + (-8)^2 + 6^2} = \sqrt{0 + 64 + 36} = \sqrt{100} = 10
$$

2. Найдем длину стороны BC:

$$
BC = \sqrt{(3 - (-1))^2 + (-2 - (-3))^2 + (6 - 9)^2} = \sqrt{4^2 + 1^2 + (-3)^2} = \sqrt{16 + 1 + 9} = \sqrt{26}
$$

3. Найдем длину стороны AC:

$$
AC = \sqrt{(3 - (-1))^2 + (-2 - 5)^2 + (6 - 3)^2} = \sqrt{4^2 + (-7)^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 49 + 9} = \sqrt{74}
$$

Теперь проверим, выполняется ли теорема Пифагора, то есть, верно ли, что квадрат наибольшей стороны равен сумме квадратов двух других сторон.

В нашем случае наибольшая сторона - AB, ее длина 10.

Проверим: $$AB^2 = BC^2 + AC^2$$

$$
10^2 = (\sqrt{26})^2 + (\sqrt{74})^2
$$
$$
100 = 26 + 74
$$
$$
100 = 100
$$

Так как равенство выполняется, треугольник ABC является прямоугольным.

Ответ: Треугольник ABC - прямоугольный.