Даны точки А (1; 3; 0), В (2; 3; −1) и С (1; 2; −1). Вычислите угол между векторами СА и СВ.

Решение:

1. Находим векторы СА и СВ:
   • Вектор СА = А - С = (1 - 1; 3 - 2; 0 - (-1)) = (0; 1; 1)
   • Вектор СВ = В - С = (2 - 1; 3 - 2; -1 - (-1)) = (1; 1; 0)
2. Находим длины векторов СА и СВ:
   • |СА| = \( \sqrt{0^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{2} \)
   • |СВ| = \( \sqrt{1^2 + 1^2 + 0^2} = \sqrt{2} \)
3. Находим скалярное произведение векторов СА и СВ:
   • СА ⋅ СВ = (0 * 1) + (1 * 1) + (1 * 0) = 0 + 1 + 0 = 1
4. Вычисляем косинус угла между векторами:
   • cos(угол) = (СА ⋅ СВ) / (|СА| * |СВ|) = 1 / (\( \sqrt{2} \) * \( \sqrt{2} \)) = 1 / 2
5. Находим угол:
   • Угол = arccos(1/2) = \( 60^{\circ} \)

Ответ: 60°