Даны точки \(A(-1; 4)\), \(B(1; -2)\), \(C(0; -4)\), \(D(2; 2)\); \(E\) — середина отрезка \(AB\), \(F\) — середина отрезка \(CD\). Найдите: а) координаты векторов \(\overrightarrow{CD}\) и \(2\overrightarrow{CD}-\overrightarrow{BC}\); б) угол между \(\overrightarrow{EF}\) и \(\overrightarrow{CD}\).

а) Координаты вектора находим вычитанием координат его начала из координат конца:

\(\overrightarrow{CD}=(2-0;\,2-(-4))=(2;6)\).

\(\overrightarrow{BC}=(0-1;\,-4-(-2))=(-1;-2)\).

Тогда \(2\overrightarrow{CD}-\overrightarrow{BC}=(4;12)-(-1;-2)=(5;14)\).

б) Координаты середин отрезков:

\(E\left(\frac{-1+1}{2};\frac{4+(-2)}{2}\right)=(0;1)\), \(F\left(\frac{0+2}{2};\frac{-4+2}{2}\right)=(1;-1)\).

Следовательно, \(\overrightarrow{EF}=(1-0;-1-1)=(1;-2)\). Используем формулу скалярного произведения:

\(\overrightarrow{EF}\cdot\overrightarrow{CD}=1\cdot2+(-2)\cdot6=-10\).

\(|\overrightarrow{EF}|=\sqrt{1^2+(-2)^2}=\sqrt5\), \(|\overrightarrow{CD}|=\sqrt{2^2+6^2}=2\sqrt{10}\).

Поэтому \(\cos\varphi=\frac{-10}{\sqrt5\cdot2\sqrt{10}}=-\frac{1}{\sqrt2}\), откуда \(\varphi=135^\circ\).

Ответ: а) \(\overrightarrow{CD}=(2;6)\), \(2\overrightarrow{CD}-\overrightarrow{BC}=(5;14)\); б) \(135^\circ\).