Даны точки A(−1; 5), B(3; −2), C(3; 2). Найдите: а) координаты векторов $\overrightarrow{BA}$ и $\overrightarrow{BC}$; б) длины векторов $\overrightarrow{BA}$ и $\overrightarrow{BC}$; в) координаты вектора $\overrightarrow{MK}=2\overrightarrow{BA}-3\overrightarrow{BC}$; г) скалярное произведение векторов $\overrightarrow{BA}$ и $\overrightarrow{BC}$; д) косинус угла между векторами $\overrightarrow{BA}$ и $\overrightarrow{BC}$.

Question

Вопрос: $Фото задания: Даны точки A(−1; 5), B(3; −2), C(3; 2). Найдите: а) координаты векторов $\overrightarrow{BA}$ и $\overrightarrow{BC}$; б)…$ Фото задания

Даны точки A(−1; 5), B(3; −2), C(3; 2). Найдите: а) координаты векторов $\overrightarrow{BA}$ и $\overrightarrow{BC}$; б) длины векторов $\overrightarrow{BA}$ и $\overrightarrow{BC}$; в) координаты вектора $\overrightarrow{MK}=2\overrightarrow{BA}-3\overrightarrow{BC}$; г) скалярное произведение векторов $\overrightarrow{BA}$ и $\overrightarrow{BC}$; д) косинус угла между векторами $\overrightarrow{BA}$ и $\overrightarrow{BC}$.

Accepted Answer

Координаты векторов находим вычитанием координат начала из координат конца: $\overrightarrow{BA}=A-B=(-1-3;\,5-(-2))=(-4;7)$, $\overrightarrow{BC}=C-B=(3-3;\,2-(-2))=(0;4)$.
Длина вектора с координатами $(x;y)$ равна $\sqrt{x^2+y^2}$:
$|\overrightarrow{BA}|=\sqrt{(-4)^2+7^2}=\sqrt{65}$,
$|\overrightarrow{BC}|=\sqrt{0^2+4^2}=4$.
Вычисляем координаты линейной комбинации покоординатно: $\overrightarrow{MK}=2(-4;7)-3(0;4)=(-8;14)-(0;12)=(-8;2)$.
Скалярное произведение: $\overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{BC}=(-4)\cdot0+7\cdot4=28$.
Используем формулу косинуса угла между векторами: $\cos\varphi=\dfrac{\overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{BC}}{|\overrightarrow{BA}|\,|\overrightarrow{BC}|}=\dfrac{28}{4\sqrt{65}}=\dfrac{7}{\sqrt{65}}$.

Ответ: а) $\overrightarrow{BA}=(-4;7)$, $\overrightarrow{BC}=(0;4)$; б) $\sqrt{65}$, 4; в) $\overrightarrow{MK}=(-8;2)$; г) 28; д) $\dfrac{7}{\sqrt{65}}$.