Даны точки A(-2; 1) и B(4; -3). Найдите множество всех точек M(x; y), для которых выполняется условие: (MA · MB) = 0

Решение:

Пусть точка \( M \) имеет координаты \( (x; y) \). Точки \( A \) и \( B \) имеют координаты \( A(-2; 1) \) и \( B(4; -3) \) соответственно.

1. Найдем векторы \( \vec{MA} \) и \( \vec{MB} \).
2. \( \vec{MA} = (x_A - x_M; y_A - y_M) = (-2 - x; 1 - y) \)
3. \( \vec{MB} = (x_B - x_M; y_B - y_M) = (4 - x; -3 - y) \)
4. Согласно условию, скалярное произведение векторов \( \vec{MA} \) и \( \vec{MB} \) равно нулю: \( \vec{MA} \cdot \vec{MB} = 0 \).
5. Подставим координаты векторов: \( (-2 - x)(4 - x) + (1 - y)(-3 - y) = 0 \)
6. Раскроем скобки: \( (-8 + 2x - 4x + x^2) + (-3 - y + 3y + y^2) = 0 \)
7. Упростим выражение: \( x^2 - 2x - 8 + y^2 + 2y - 3 = 0 \)
8. Сгруппируем члены по \( x \) и \( y \) и выделим полные квадраты: \( (x^2 - 2x + 1) - 1 - 8 + (y^2 + 2y + 1) - 1 - 3 = 0 \)
9. \( (x - 1)^2 - 9 + (y + 1)^2 - 4 = 0 \)
10. \( (x - 1)^2 + (y + 1)^2 = 13 \)

Полученное уравнение \( (x - 1)^2 + (y + 1)^2 = 13 \) является уравнением окружности с центром в точке \( C(1; -1) \) и радиусом \( R = \sqrt{13} \).

Ответ: Множество всех точек M(x; y) представляет собой окружность, заданную уравнением \( (x - 1)^2 + (y + 1)^2 = 13 \).