Даны точки A (3; −2), B (1; −1) и C (−1; 1). Найдите: 1) координаты векторов \(\overrightarrow{BA}\) и \(\overrightarrow{BC}\); 2) модули векторов \(\overrightarrow{BA}\) и \(\overrightarrow{BC}\); 3) координаты вектора \(\overrightarrow{MP}=4\overrightarrow{BA}-\overrightarrow{BC}\); 4) скалярное произведение векторов \(\overrightarrow{BA}\) и \(\overrightarrow{BC}\); 5) косинус угла между векторами \(\overrightarrow{BA}\) и \(\overrightarrow{BC}\). Начертите треугольник ABC. Постройте вектор: [условие обрезано]

1. Координаты вектора равны разностям координат его конца и начала:

   \(\overrightarrow{BA}=(3-1;\,-2-(-1))=(2; -1)\).

   \(\overrightarrow{BC}=(-1-1;\,1-(-1))=(-2; 2)\).

2. Модуль вектора \((x;y)\) вычисляется по формуле \(\sqrt{x^2+y^2}\):

   \(|\overrightarrow{BA}|=\sqrt{2^2+(-1)^2}=\sqrt5\),

   \(|\overrightarrow{BC}|=\sqrt{(-2)^2+2^2}=\sqrt8=2\sqrt2\).

3. Выполняем действия покоординатно:

   \(\overrightarrow{MP}=4(2;-1)-(-2;2)=(8;-4)-(-2;2)=(10;-6)\).

4. Скалярное произведение равно сумме произведений соответствующих координат:

   \(\overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{BC}=2\cdot(-2)+(-1)\cdot2=-6\).

5. Используем формулу \(\cos\theta=\dfrac{\vec u\cdot\vec v}{|\vec u||\vec v|}\):

   \(\cos\theta=\dfrac{-6}{\sqrt5\cdot2\sqrt2}=-\dfrac{3}{\sqrt{10}}\).

Треугольник построен по координатам вершин:

Последняя команда на фото обрезана после слов «Постройте вектор:», поэтому построить требуемый дополнительный вектор нельзя без указания его названия или координат. Пришлите нижнюю часть задания целиком.

Ответ: \(\overrightarrow{BA}=(2;-1)\), \(\overrightarrow{BC}=(-2;2)\); модули \(\sqrt5\) и \(2\sqrt2\); \(\overrightarrow{MP}=(10;-6)\); скалярное произведение \(-6\); косинус угла \(-\dfrac{3}{\sqrt{10}}\).