1. Даны точки A(1;-2), B(3;6), C(5;-2). А) Найдите координаты векторов АВ, СВ. Б) Найдите координаты точки М, являющейся серединой отрезка АВ. В) Найдите длину отрезка СМ. 2. Дано: А(-6;1), B(0;5), С(6;-4), Д(0;-8). Докажите, что АВСД параллелограмм и найдите его периметр. 3. Дано: С(m;3), D(4;1), F(2;-1), векторы CD и DF равны. Найдите значение т. 4. Четырехугольник имеет вершины с координатами A(1;1), B(3;5), C(9;-1), D(7;-5). Определите вид четырехугольника и найдите его диагонали.

Решим задачи по геометрии. 1. А) Найдите координаты векторов АВ, СВ. Координаты вектора АВ вычисляются как разность координат конца и начала вектора: $$AB = (x_B - x_A; y_B - y_A)$$ $$AB = (3 - 1; 6 - (-2)) = (2; 8)$$ Координаты вектора СВ вычисляются как разность координат конца и начала вектора: $$CB = (x_B - x_C; y_B - y_C)$$ $$CB = (3 - 5; 6 - (-2)) = (-2; 8)$$ 1. Б) Найдите координаты точки М, являющейся серединой отрезка АВ. Координаты середины отрезка вычисляются как среднее арифметическое координат концов отрезка: $$x_M = \frac{x_A + x_B}{2}; y_M = \frac{y_A + y_B}{2}$$ $$x_M = \frac{1 + 3}{2} = 2; y_M = \frac{-2 + 6}{2} = 2$$ $$M(2; 2)$$ 1. В) Найдите длину отрезка СМ. Длина отрезка вычисляется по формуле расстояния между двумя точками: $$CM = \sqrt{(x_C - x_M)^2 + (y_C - y_M)^2}$$ $$CM = \sqrt{(5 - 2)^2 + (-2 - 2)^2} = \sqrt{3^2 + (-4)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$$ 2. Дано: А(-6;1), B(0;5), С(6;-4), Д(0;-8). Докажите, что АВСД параллелограмм и найдите его периметр. Чтобы доказать, что ABCD - параллелограмм, нужно показать, что противоположные стороны попарно параллельны и равны. Для этого найдем векторы, соответствующие сторонам: $$AB = (0 - (-6); 5 - 1) = (6; 4)$$ $$DC = (6 - 0; -4 - (-8)) = (6; 4)$$ $$BC = (6 - 0; -4 - 5) = (6; -9)$$ $$AD = (0 - (-6); -8 - 1) = (6; -9)$$ Так как векторы AB = DC и BC = AD, то противоположные стороны попарно равны и параллельны, следовательно, ABCD - параллелограмм. Найдем длины сторон параллелограмма: $$AB = \sqrt{(6)^2 + (4)^2} = \sqrt{36 + 16} = \sqrt{52} = 2\sqrt{13}$$ $$BC = \sqrt{(6)^2 + (-9)^2} = \sqrt{36 + 81} = \sqrt{117} = 3\sqrt{13}$$ Периметр параллелограмма равен сумме длин всех его сторон: $$P = 2(AB + BC) = 2(2\sqrt{13} + 3\sqrt{13}) = 2(5\sqrt{13}) = 10\sqrt{13}$$ 3. Дано: С(m;3), D(4;1), F(2;-1), векторы CD и DF равны. Найдите значение m. Найдем векторы CD и DF: $$CD = (4 - m; 1 - 3) = (4 - m; -2)$$ $$DF = (2 - 4; -1 - 1) = (-2; -2)$$ Так как векторы CD и DF равны, то их координаты должны быть равны: $$4 - m = -2$$ $$m = 4 + 2 = 6$$ 4. Четырехугольник имеет вершины с координатами A(1;1), B(3;5), C(9;-1), D(7;-5). Определите вид четырехугольника и найдите его диагонали. Найдем векторы, соответствующие сторонам четырехугольника: $$AB = (3 - 1; 5 - 1) = (2; 4)$$ $$BC = (9 - 3; -1 - 5) = (6; -6)$$ $$CD = (7 - 9; -5 - (-1)) = (-2; -4)$$ $$DA = (1 - 7; 1 - (-5)) = (-6; 6)$$ Так как векторы AB = -CD и BC = -DA, то противоположные стороны параллельны и равны. Следовательно, ABCD - параллелограмм. Теперь проверим, является ли он прямоугольником. Для этого найдем скалярное произведение векторов AB и BC: $$AB \cdot BC = (2)(6) + (4)(-6) = 12 - 24 = -12$$ Так как скалярное произведение не равно 0, то угол между сторонами AB и BC не прямой. Значит, ABCD - не прямоугольник. Проверим, является ли он ромбом. Для этого найдем длины сторон AB и BC: $$AB = \sqrt{2^2 + 4^2} = \sqrt{4 + 16} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$$ $$BC = \sqrt{6^2 + (-6)^2} = \sqrt{36 + 36} = \sqrt{72} = 6\sqrt{2}$$ Так как длины сторон AB и BC не равны, то ABCD - не ромб. Таким образом, ABCD - параллелограмм. Найдем диагонали параллелограмма: $$AC = \sqrt{(9 - 1)^2 + (-1 - 1)^2} = \sqrt{8^2 + (-2)^2} = \sqrt{64 + 4} = \sqrt{68} = 2\sqrt{17}$$ $$BD = \sqrt{(7 - 3)^2 + (-5 - 5)^2} = \sqrt{4^2 + (-10)^2} = \sqrt{16 + 100} = \sqrt{116} = 2\sqrt{29}$$ Ответы: 1. А) AB(2; 8), CB(-2; 8) 1. Б) M(2; 2) 1. В) CM = 5 2. ABCD - параллелограмм, P = $$10\sqrt{13}$$ 3. m = 6 4. ABCD - параллелограмм, AC = $$2\sqrt{17}$$, BD = $$2\sqrt{29}$$