Даны точки M (−2; −4), P (4; 4), K (−1; 3). Найдите: 1) координаты векторов \(\overrightarrow{MK}\) и \(\overrightarrow{PM}\); 2) модули векторов \(\overrightarrow{MK}\) и \(\overrightarrow{PM}\); 3) координаты вектора \(\overrightarrow{EF}=2\overrightarrow{MK}-3\overrightarrow{PM}\); 4) скалярное произведение векторов \(\overrightarrow{MK}\) и \(\overrightarrow{PM}\); 5) косинус угла между векторами \(\overrightarrow{MK}\) и \(\overrightarrow{PM}\).

1. Координаты вектора находим как разность координат его конца и начала:

   \(\overrightarrow{MK}=K-M=(-1-(-2);\ 3-(-4))=(1;7)\).

   \(\overrightarrow{PM}=M-P=(-2-4;\ -4-4)=(-6;-8)\).

2. Модуль вектора \((x;y)\) равен \(\sqrt{x^2+y^2}\):

   \(|\overrightarrow{MK}|=\sqrt{1^2+7^2}=\sqrt{50}=5\sqrt2\).

   \(|\overrightarrow{PM}|=\sqrt{(-6)^2+(-8)^2}=\sqrt{100}=10\).

3. Вычислим координаты линейной комбинации покоординатно:

   \(\overrightarrow{EF}=2(1;7)-3(-6;-8)=(2;14)-(-18;-24)=(20;38)\).

4. Скалярное произведение равно сумме произведений соответствующих координат:

   \(\overrightarrow{MK}\cdot\overrightarrow{PM}=1\cdot(-6)+7\cdot(-8)=-6-56=-62\).

5. Используем формулу косинуса угла между векторами:

   \(\cos\varphi=\dfrac{\overrightarrow{MK}\cdot\overrightarrow{PM}}{|\overrightarrow{MK}|\,|\overrightarrow{PM}|}=\dfrac{-62}{5\sqrt2\cdot10}=-\dfrac{31}{25\sqrt2}=-\dfrac{31\sqrt2}{50}\).

Ответ: 1) \(\overrightarrow{MK}=(1;7)\), \(\overrightarrow{PM}=(-6;-8)\); 2) \(5\sqrt2\), \(10\); 3) \(\overrightarrow{EF}=(20;38)\); 4) \(-62\); 5) \(-\dfrac{31\sqrt2}{50}\).