Даны точки С и D. Найти геометрическое место точек, удаленных от С и D на одно и то же расстояние к.

Ответ: Геометрическим местом точек, равноудаленных от двух данных точек C и D, является серединный перпендикуляр к отрезку CD.

Рассмотрим точки C и D на плоскости. Геометрическое место точек, равноудаленных от C и D, должно удовлетворять условию, что расстояние от любой такой точки до C равно расстоянию от этой же точки до D.

Пусть M — любая точка, такая что MC = MD. Тогда M лежит на серединном перпендикуляре к отрезку CD.

Доказательство:

• Пусть отрезок CD и точка M такая, что MC = MD.
• Проведем отрезок MD.
• Пусть K — середина CD. Соединим M и K.
• Рассмотрим треугольники MKC и MKD. У них MK — общая сторона, KC = KD (так как K — середина CD) и MC = MD (по условию).
• Следовательно, треугольники MKC и MKD равны по трем сторонам (III признак равенства треугольников).
• Из равенства треугольников следует равенство углов: угол MKC = углу MKD.
• Так как эти углы смежные и равны, то они прямые, то есть MK перпендикулярна CD.
• Таким образом, MK — серединный перпендикуляр к отрезку CD, и точка M лежит на этом перпендикуляре.

Таким образом, геометрическое место точек, равноудаленных от C и D, — это прямая, перпендикулярная отрезку CD и проходящая через его середину.

Ответ: Геометрическим местом точек, равноудаленных от двух данных точек C и D, является серединный перпендикуляр к отрезку CD.