Даны три точки A, B, C, не лежащие на одной прямой. Точка D не лежит в плоскости, проходящей через точки A, B, C. Сколько различных плоскостей можно провести через любые три из этих четырёх точек? Пересекаются ли прямые AB и CD? В какой плоскости лежит прямая, проходящая через середины отрезков AD и BC?

Любые три из четырёх точек не лежат на одной прямой: A, B, C неколлинеарны, а D не принадлежит плоскости ABC. Каждая тройка задаёт единственную плоскость.

Всего троек точек: ABC, ABD, ACD и BCD. Значит, получаются четыре различные плоскости.

Прямые AB и CD не пересекаются. Если бы они пересекались, обе прямые лежали бы в одной плоскости, и в этой плоскости оказались бы точки A, B, C, D. Это противоречит условию, что D не лежит в плоскости ABC.

Обозначим середины AD и BC через M и N. В тетраэдре ABCD отрезок, соединяющий середины противоположных рёбер AD и BC, лежит в плоскости, параллельной рёбрам AB и CD. Например, эта плоскость проходит через M и N и параллельна AB и CD.

Ответ: 4 плоскости; AB и CD не пересекаются; прямая MN лежит в плоскости, параллельной AB и CD.