6. Даны вектора а(2;-3) и в (х;-4). При каких значениях х, эти векторы перпендикулярны? ІІ вариант 1. Вычислить скалярное произведение векторов тип, если 1m 1 = 3, In 1 = 4, а угол между ними равен 135°. 2. Скалярное произведение ненулевых векторов риф, равно 0. Определите угол между этими векторами. 3. Вычислите скалярное произведение векторов а и в, если а (-4; 5), b¯(-5;4). 4. Найдите угол между ненулевыми векторами с (х; - у) и д (у; х). 5. Вычислите косинус угла между векторами а и в, если а (-12;5), b¯(3;4). 6. Даны вектора т (3; у) и п (2;-6). При каких значениях х, эти векторы перпендикулярны?

Привет! Сейчас мы разберем эти задания по геометрии. Будет интересно!

Задание 6 (первый блок)

Давай вспомним, что два вектора перпендикулярны, если их скалярное произведение равно нулю. У нас есть векторы \[\vec{a}(2; -3)\] и \[\vec{b}(x; -4)\].

Скалярное произведение этих векторов равно:

\[\vec{a} \cdot \vec{b} = 2 \cdot x + (-3) \cdot (-4) = 2x + 12\]

Чтобы векторы были перпендикулярны, скалярное произведение должно быть равно нулю:

\[2x + 12 = 0\]

Решим это уравнение:

\[2x = -12\] \[x = -6\]

Ответ: -6

---

ІІ вариант

1. Вычислить скалярное произведение векторов \[\vec{m}\] и \[\vec{n}\]

Даны длины векторов \(|\vec{m}| = 3\), \(|\vec{n}| = 4\) и угол между ними \(\theta = 135^\circ\). Скалярное произведение можно вычислить по формуле:

\[\vec{m} \cdot \vec{n} = |\vec{m}| \cdot |\vec{n}| \cdot \cos(\theta)\]

Подставим известные значения:

\[\vec{m} \cdot \vec{n} = 3 \cdot 4 \cdot \cos(135^\circ)\]

Так как \(\cos(135^\circ) = -\frac{\sqrt{2}}{2}\), получим:

\[\vec{m} \cdot \vec{n} = 12 \cdot \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = -6\sqrt{2}\]

Ответ: \[-6\sqrt{2}\]

---

2. Скалярное произведение ненулевых векторов \(\vec{p}\) и \(\vec{q}\) равно 0.

Определите угол между этими векторами.

Если скалярное произведение двух ненулевых векторов равно нулю, это означает, что векторы перпендикулярны. Угол между перпендикулярными векторами равен 90°.

Ответ: 90°

---

3. Вычислите скалярное произведение векторов \[\vec{a}\] и \(\vec{b}\), если \[\vec{a}(-4; 5)\) и \(\vec{b}(-5; 4)\).

Скалярное произведение векторов \(\vec{a}(-4; 5)\) и \(\vec{b}(-5; 4)\) вычисляется следующим образом:

\[\vec{a} \cdot \vec{b} = (-4) \cdot (-5) + 5 \cdot 4 = 20 + 20 = 40\]

Ответ: 40

---

4. Найдите угол между ненулевыми векторами \(\vec{c}(x; -y)\) и \(\vec{d}(y; x)\).

Найдем скалярное произведение векторов \(\vec{c}\) и \(\vec{d}\):

\[\vec{c} \cdot \vec{d} = x \cdot y + (-y) \cdot x = xy - yx = 0\]

Так как скалярное произведение равно 0, векторы перпендикулярны. Значит, угол между ними равен 90°.

Ответ: 90°

---

5. Вычислите косинус угла между векторами \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\), если \[\vec{a}(-12; 5)\) и \(\vec{b}(3; 4)\).

Сначала найдем скалярное произведение векторов \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\):

\[\vec{a} \cdot \vec{b} = (-12) \cdot 3 + 5 \cdot 4 = -36 + 20 = -16\]

Теперь найдем длины векторов \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\):

\[|\vec{a}| = \sqrt{(-12)^2 + 5^2} = \sqrt{144 + 25} = \sqrt{169} = 13\] \[|\vec{b}| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5\]

Косинус угла между векторами вычисляется по формуле:

\[\cos(\theta) = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|} = \frac{-16}{13 \cdot 5} = -\frac{16}{65}\]

Ответ: \[-\frac{16}{65}\]

---

6. Даны вектора \(\vec{m}(3; y)\) и \(\vec{n}(2; -6)\).

При каких значениях y эти векторы перпендикулярны?

Векторы перпендикулярны, если их скалярное произведение равно нулю. Найдем скалярное произведение векторов \(\vec{m}\) и \(\vec{n}\):

\[\vec{m} \cdot \vec{n} = 3 \cdot 2 + y \cdot (-6) = 6 - 6y\]

Приравняем скалярное произведение к нулю:

\[6 - 6y = 0\] \[6y = 6\] \[y = 1\]

Ответ: 1