1.Даны векторы а{1; -2), 6(-3; 2}, {(-2;-3). а) Найдите координаты вектора р = 2a (3 балла) 2a-26 +2. б) Запишите разложение вектора р по единичным векторам їи ). (1 балл) в) Найдите длину вектора р. (1 балл) г) Найдите координаты вектора з противоположного вектору р. (1 балл) 2. Среди векторов {−1;3}, {2;6}, {1;2), d(-12; -36) найдите пары коллинеарных. (3 балла) 3. В параллелограмме ABCD AB(2;5}, AD(3; −4). Точки М и № лежат на сторонах ВС и CD соответственно так, что BM=MC, CN: ND=3:1. Найдите координаты вектора ММ. (4 балла) Всего -13 баллов. «3» - 46., «4» - 86., «5» - 116.

Привет! Сейчас мы вместе разберем эту задачу по векторной алгебре. Будь внимателен, и у тебя все получится!

1. Даны векторы \(\vec{a}\), \(\vec{b}\), \(\vec{c}\).

а) Найдите координаты вектора \(\vec{p} = 2\vec{a} - 2\vec{b} + \vec{c}\).

Давай найдем координаты вектора \(\vec{p}\) поэтапно:

• Сначала умножим вектор \(\vec{a}\) на 2: \(2\vec{a} = 2 \cdot (1; -2) = (2; -4)\).
• Затем умножим вектор \(\vec{b}\) на -2: \(-2\vec{b} = -2 \cdot (-3; 2) = (6; -4)\).
• Теперь сложим полученные векторы и вектор \(\vec{c}\):

\[ \vec{p} = (2; -4) + (6; -4) + (-2; -3) = (2+6-2; -4-4-3) = (6; -11) \]

Ответ: \(\vec{p} = (6; -11)\)

б) Запишите разложение вектора \(\vec{p}\) по единичным векторам \(\vec{i}\) и \(\vec{j}\).

\[ \vec{p} = 6\vec{i} - 11\vec{j} \]

Ответ: \(\vec{p} = 6\vec{i} - 11\vec{j}\)

в) Найдите длину вектора \(\vec{p}\).

Длина вектора \(\vec{p}\) вычисляется по формуле: \[ |\vec{p}| = \sqrt{x^2 + y^2} \] Подставим координаты вектора \(\vec{p} = (6; -11)\): \[ |\vec{p}| = \sqrt{6^2 + (-11)^2} = \sqrt{36 + 121} = \sqrt{157} \]

Ответ: \(|\vec{p}| = \sqrt{157}\)

г) Найдите координаты вектора \(\vec{s}\), противоположного вектору \(\vec{p}\).

Чтобы найти вектор, противоположный вектору \(\vec{p}\), нужно изменить знаки его координат: \[ \vec{s} = -\vec{p} = -(6; -11) = (-6; 11) \]

Ответ: \(\vec{s} = (-6; 11)\)

2. Среди векторов \(\vec{a}\{-1;3\}, \vec{b}\{2;6\}, \vec{c}\{\frac{1}{2};\frac{3}{2}\}, \vec{d}\{-12;-36\}\) найдите пары коллинеарных.

Векторы коллинеарны, если их координаты пропорциональны. Проверим:

• \(\vec{a}\{-1;3\}\) и \(\vec{b}\{2;6\}\): \(\frac{-1}{2} = \frac{3}{6}\) (неверно, \(\frac{-1}{2}
  eq \frac{1}{2}\)), не коллинеарны.
• \(\vec{a}\{-1;3\}\) и \(\vec{c}\{\frac{1}{2};\frac{3}{2}\}\): \(\frac{-1}{\frac{1}{2}} = \frac{3}{\frac{3}{2}}\) (верно, -2 = 2), коллинеарны.
• \(\vec{a}\{-1;3\}\) и \(\vec{d}\{-12;-36\}\): \(\frac{-1}{-12} = \frac{3}{-36}\) (неверно, \(\frac{1}{12}
  eq \frac{-1}{12}\)), не коллинеарны.
• \(\vec{b}\{2;6\}\) и \(\vec{c}\{\frac{1}{2};\frac{3}{2}\}\): \(\frac{2}{\frac{1}{2}} = \frac{6}{\frac{3}{2}}\) (верно, 4=4), коллинеарны.
• \(\vec{b}\{2;6\}\) и \(\vec{d}\{-12;-36\}\): \(\frac{2}{-12} = \frac{6}{-36}\) (верно, \(-\frac{1}{6} = -\frac{1}{6}\)), коллинеарны.
• \(\vec{c}\{\frac{1}{2};\frac{3}{2}\}\) и \(\vec{d}\{-12;-36\}\): \(\frac{\frac{1}{2}}{-12} = \frac{\frac{3}{2}}{-36}\) (верно, \(-\frac{1}{24} = -\frac{1}{24}\)), коллинеарны.

Коллинеарны: \(\vec{a}\) и \(\vec{c}\); \(\vec{b}\) и \(\vec{c}\); \(\vec{b}\) и \(\vec{d}\); \(\vec{c}\) и \(\vec{d}\).

Ответ: \(\vec{a}\) и \(\vec{c}\); \(\vec{b}\) и \(\vec{c}\); \(\vec{b}\) и \(\vec{d}\); \(\vec{c}\) и \(\vec{d}\)

3. В параллелограмме ABCD \(AB(2;5)\), \(AD(3; -4)\). Точки M и N лежат на сторонах BC и CD соответственно так, что BM=MC, CN: ND=3:1. Найдите координаты вектора MN.

Давай найдем координаты вектора \(\vec{MN}\). Сначала выразим его через известные векторы.

Так как BM = MC, то M - середина BC. Значит, \(\vec{BM} = \frac{1}{2} \vec{BC} = \frac{1}{2} \vec{AD}\).

Так как CN:ND = 3:1, то \(\vec{CN} = \frac{3}{4} \vec{CD} = \frac{3}{4} (-\vec{AB})\).

Теперь выразим \(\vec{MN}\) через \(\vec{MC}\) и \(\vec{CN}\):

\[ \vec{MN} = \vec{MC} + \vec{CN} = -\vec{BM} + \vec{CN} = -\frac{1}{2} \vec{AD} - \frac{3}{4} \vec{AB} \]

Подставим координаты векторов \(\vec{AD}\) и \(\vec{AB}\):

\[ \vec{MN} = -\frac{1}{2} (3; -4) - \frac{3}{4} (2; 5) = (-\frac{3}{2}; 2) + (-\frac{6}{4}; -\frac{15}{4}) = (-\frac{3}{2} - \frac{3}{2}; 2 - \frac{15}{4}) = (-3; -\frac{7}{4}) \]

Ответ: \(\vec{MN} = (-3; -\frac{7}{4})\)

Молодец! Ты отлично справился с этой задачей. Продолжай в том же духе, и у тебя все получится!