Даны векторы а (3; 1) и б (-1; −3). Найдите косинус угла между ними.

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Найдем скалярное произведение векторов \( \vec{a} \cdot \vec{b} \).
2. Формула скалярного произведения: \( \vec{a} \cdot \vec{b} = a_x \cdot b_x + a_y \cdot b_y \)
3. Подставляем значения: \( \vec{a} \cdot \vec{b} = (3) \cdot (-1) + (1) \cdot (-3) = -3 - 3 = -6 \).
4. Шаг 2: Найдем длины векторов \( |\vec{a}| \) и \( |\vec{b}| \).
5. Формула длины вектора: \( |\vec{v}| = \sqrt{v_x^2 + v_y^2} \)
6. Длина вектора \( \vec{a} \): \( |\vec{a}| = \sqrt{3^2 + 1^2} = \sqrt{9 + 1} = \sqrt{10} \).
7. Длина вектора \( \vec{b} \): \( |\vec{b}| = \sqrt{(-1)^2 + (-3)^2} = \sqrt{1 + 9} = \sqrt{10} \).
8. Шаг 3: Найдем косинус угла между векторами.
9. Формула косинуса угла: \( \cos(\theta) = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|} \)
10. Подставляем значения: \( \cos(\theta) = \frac{-6}{\sqrt{10} \cdot \sqrt{10}} = \frac{-6}{10} \).
11. Шаг 4: Упрощаем полученное значение.
12. \( \cos(\theta) = -0.6 \).

Ответ: -0.6