Даны векторы т (4;14) и п (-7;k). При каком значении k векторы т и п: 1) коллинеарны; 2) перпендикулярны?

Ответ: 1) k = -49; 2) k = 2

Решение:

1) Векторы \[\overrightarrow{m}(4; 14)\] и \[\overrightarrow{n}(-7; k)\] коллинеарны, если их координаты пропорциональны:

• \[\frac{4}{-7} = \frac{14}{k}\]
• \[4k = -7 \cdot 14\]
• \[4k = -98\]
• \[k = -\frac{98}{4} = -\frac{49}{2} = -24.5\]

2) Векторы \[\overrightarrow{m}(4; 14)\] и \[\overrightarrow{n}(-7; k)\] перпендикулярны, если их скалярное произведение равно 0:

• \[\overrightarrow{m} \cdot \overrightarrow{n} = 4 \cdot (-7) + 14 \cdot k = 0\]
• \[-28 + 14k = 0\]
• \[14k = 28\]
• \[k = \frac{28}{14} = 2\]

Ответ: 1) k = -24.5; 2) k = 2