Даны векторы \(\vec a=2\vec i+2\vec j+\vec k\), \(\vec b=6\vec i+3\vec j+2\vec k\). Найти \(\operatorname{пр}_{\vec a}\vec b\), угол \((\vec a,\vec b)\).

Шаг 1. Находим скалярное произведение: \(\vec a\cdot\vec b=2\cdot6+2\cdot3+1\cdot2=20\).

Шаг 2. Находим длины векторов: \(|\vec a|=\sqrt{2^2+2^2+1^2}=3\), \(|\vec b|=\sqrt{6^2+3^2+2^2}=7\).

Шаг 3. Скалярная проекция \(\vec b\) на направление \(\vec a\): \(\operatorname{пр}_{\vec a}\vec b=\dfrac{\vec a\cdot\vec b}{|\vec a|}=\dfrac{20}{3}\).

Шаг 4. Для угла используем формулу \(\cos\theta=\dfrac{\vec a\cdot\vec b}{|\vec a||\vec b|}=\dfrac{20}{3\cdot7}=\dfrac{20}{21}\). Следовательно, \(\theta=\arccos\dfrac{20}{21}\).

Ответ: \(\operatorname{пр}_{\vec a}\vec b=\dfrac{20}{3}\), угол между векторами равен \(\arccos\dfrac{20}{21}\).