Даны векторы \(\vec{p}\) и \(\vec{a}\). Найдите орт вектора \(\vec{p}\) (вектор единичной длины и того же направления, что вектор \(\vec{p}\)), перпендикулярный вектору \(\vec{a}\) и оси ОХ: \(\vec{p}^{\circ} \perp \vec{a}\), \(\vec{p}^{\circ} \perp \vec{i}\), где \(\vec{a} = (3,6,8)\).

Решение:

Орт вектора \(\vec{p}^{\circ}\) — это единичный вектор, имеющий то же направление, что и \(\vec{p}\). По условию, \(\vec{p}^{\circ}\) перпендикулярен вектору \(\vec{a} = (3,6,8)\) и оси ОХ (единичный вектор \(\vec{i} = (1,0,0)\)).

1. Пусть \(\vec{p}^{\circ} = (x, y, z)\). Так как \(\vec{p}^{\circ}\) — единичный вектор, то \(x^2 + y^2 + z^2 = 1\).
2. Условие перпендикулярности вектору \(\vec{a}\) означает, что их скалярное произведение равно нулю: \(\vec{p}^{\circ} \cdot \vec{a} = 0\).
   \(3x + 6y + 8z = 0\).
3. Условие перпендикулярности оси ОХ (вектору \(\vec{i}\)) означает, что скалярное произведение \(\vec{p}^{\circ} \cdot \vec{i} = 0\).
   \(x \cdot 1 + y \cdot 0 + z \cdot 0 = 0\), то есть \(x = 0\).
4. Подставим \(x=0\) в уравнение скалярного произведения с \(\vec{a}\):
   \(3(0) + 6y + 8z = 0 \Rightarrow 6y + 8z = 0 \Rightarrow 3y + 4z = 0 \Rightarrow y = -\frac{4}{3}z\).
5. Подставим \(x=0\) и \(y = -\frac{4}{3}z\) в уравнение единичной длины:
   \(0^2 + \left(-\frac{4}{3}z\right)^2 + z^2 = 1 \Rightarrow \frac{16}{9}z^2 + z^2 = 1 \Rightarrow \left(\frac{16}{9} + 1\right)z^2 = 1 \Rightarrow \frac{25}{9}z^2 = 1 \Rightarrow z^2 = \frac{9}{25} \Rightarrow z = \pm\frac{3}{5}\).
6. Найдем соответствующие значения \(y\):
   Если \(z = \frac{3}{5}\), то \(y = -\frac{4}{3} \cdot \frac{3}{5} = -\frac{4}{5}\).
   Если \(z = -\frac{3}{5}\), то \(y = -\frac{4}{3} \cdot \left(-\frac{3}{5}\right) = \frac{4}{5}\).
7. Таким образом, возможные векторы \(\vec{p}^{\circ}\) равны:
   \(\vec{p}^{\circ} = (0, -\frac{4}{5}, \frac{3}{5}) = (0, -0.8, 0.6)\) или \(\vec{p}^{\circ} = (0, \frac{4}{5}, -\frac{3}{5}) = (0, 0.8, -0.6)\).
   Это можно записать как \(\vec{p}^{\circ} = \pm(0; -0.8; 0.6)\).

Ответ: \(\vec{p}^{\circ} = \pm(0;-0.8;0.6)\).