14. Даша готовится к олимпиаде по математике. Ей нужно решить 280 задач за 14 дней. В первый день она решила 7 задач, а в каждый последующий день Даша решала на одно и то же количество задач больше, чем в предыдущий день. Сколько задач решила Даша в сумме за четвёртый и десятый дни?

Для решения этой задачи, нам нужно понять, что количество задач, которое Даша решает каждый день, образует арифметическую прогрессию. 1. Обозначим количество задач, которое Даша решала в первый день, как (a_1 = 7). 2. Пусть (d) - разность арифметической прогрессии (то есть количество задач, на которое Даша решает больше каждый день). 3. Сумма (n) членов арифметической прогрессии (S_n) выражается формулой: \[S_n = \frac{n}{2} [2a_1 + (n - 1)d]\] В нашем случае (n = 14) и (S_{14} = 280). Подставим эти значения в формулу: \[280 = \frac{14}{2} [2 \cdot 7 + (14 - 1)d]\] \[280 = 7 [14 + 13d]\] Разделим обе части на 7: \[40 = 14 + 13d\] \[13d = 40 - 14\] \[13d = 26\] \[d = 2\] Итак, разность арифметической прогрессии (d = 2). Это означает, что каждый день Даша решала на 2 задачи больше, чем в предыдущий. 4. Теперь найдем, сколько задач Даша решила в четвёртый и десятый дни. Формула для (n)-го члена арифметической прогрессии: \[a_n = a_1 + (n - 1)d\] Для четвёртого дня ((n = 4)): \[a_4 = 7 + (4 - 1) \cdot 2 = 7 + 3 \cdot 2 = 7 + 6 = 13\] Для десятого дня ((n = 10)): \[a_{10} = 7 + (10 - 1) \cdot 2 = 7 + 9 \cdot 2 = 7 + 18 = 25\] 5. Наконец, найдем сумму задач, решенных в четвёртый и десятый дни: \[a_4 + a_{10} = 13 + 25 = 38\] Ответ: 38 задач