Даша загадала четырёхзначное число. Из загаданного числа она вычла сумму его цифр, у полученной разности зачеркнула одну цифру и получила число 627. Какую цифру зачеркнула Даша?

Пусть загаданное число имеет вид $$\overline{abcd}$$, где $$a, b, c, d$$ - цифры от 0 до 9, и $$a
eq 0$$. Тогда число можно представить в виде $$1000a + 100b + 10c + d$$. По условию, Даша вычла из числа сумму его цифр, то есть: $$1000a + 100b + 10c + d - (a + b + c + d) = 999a + 99b + 9c$$ Полученное число делится на 9. Если из этого числа зачеркнуть одну цифру и получить 627, то это значит, что полученное число (до зачеркивания) либо 4-значное, либо 3-значное. Но так как мы знаем, что полученное число делится на 9, то и 627 + зачеркнутая цифра должно делиться на 9. Пусть $$x$$ - зачеркнутая цифра. Тогда $$627 + x$$ должно делиться на 9. Так как $$627 = 9 \cdot 69 + 6$$, то $$6 + x$$ должно делиться на 9. Возможные значения $$x$$: * Если $$6 + x = 9$$, то $$x = 3$$. * Если $$6 + x = 18$$, то $$x = 12$$, что невозможно, так как $$x$$ - цифра. Таким образом, зачеркнутая цифра равна 3. Значит, до зачеркивания было число 3627, 6327, 6237 или 6273. Теперь нужно проверить, какое из этих чисел могло получиться в результате вычитания суммы цифр из исходного числа. Если зачеркнули 3, значит, разность равна 627, и она делится на 9. Следовательно, исходное число при вычитании суммы цифр дало число, делящееся на 9. Если зачеркнутая цифра 3, то число до зачеркивания могло быть 627 + цифра = число, которое делится на 9. Значит, 627 + 3 = 630. 630 делится на 9, так как 6 + 3 + 0 = 9. Теперь рассмотрим случай, когда в результате вычитания суммы цифр из числа получилось 630. Нужно подобрать такое четырехзначное число, чтобы после вычитания суммы его цифр получилось 630. Пусть это число $$\overline{abcd}$$. Тогда $$\overline{abcd} - (a+b+c+d) = 630$$, следовательно $$\overline{abcd} = 630 + a + b + c + d$$. Максимальное значение $$a+b+c+d = 9+9+9+9 = 36$$. Значит, $$\overline{abcd}$$ лежит в диапазоне от 630 до 666. Проверим числа из этого диапазона. Нужно, чтобы число минус сумма его цифр было равно 630. * 630: $$630 - (6+3+0) = 630 - 9 = 621$$ (не подходит) * 639: $$639 - (6+3+9) = 639 - 18 = 621$$ (не подходит) * 640: $$640 - (6+4+0) = 640 - 10 = 630$$ (подходит) Значит, Даша задумала число 640. Даша вычла сумму его цифр: 6 + 4 + 0 + 0 = 10. Получилось 640 - 10 = 630. Потом она зачеркнула цифру 3, и получилось 627. Ответ: 3