Дата: Тема: «Контрольная работа по разделу: «Первообразная функция, её применение»» Задание. Выполните контрольную работу на двойных листочках по вариантам (1 вариант нечетный порядковый номер по журналу, 2 вариант четный порядковый номер по журналу.) Сфотографируйте или отсканируйте решение контрольной работы и загрузите файл в Дневник.ру. Файл необходимо сохранить как Математика Фамилия.досх (pdf, jpg) Контрольная работа по разделу «Первообразная функции, её применение» 1. Вычислите неопределенные интегралы: a) (6x58x7 + 9cosx-11x + 2) dx; b) 3(2x²-1)² dx; c) 3x+2x²-3x3 dx x 2. Вычислите определенные интегралы: a) f (x³ + 2x)dx; π b) π /3 dx. Ja sin²x 3 π/4 c) ∫(8x³ +3x²-6x+4)dx. -2 3. Вычислите площадь заштрихованной фигуры Вариант - 1 -3 0 9 y=-x+9 3 X 4. Вычислите площадь заштрихованной фигуры, ограниченной кривыми у = х²-2х-2 и y = -x²+2. y y=x-2x- 2 y=x+2 X 5. Вычислите площадь фигуры, ограниченной кривыми у + х² - 8 = 0 и у = х². 6. Решите уравнение dx=2y²+5y.

∫(6x⁵ - 8x⁷ + 9cos(x) - 11x + 2) dx = 6∫x⁵ dx - 8∫x⁷ dx + 9∫cos(x) dx - 11∫x dx + 2∫dx =

= 6 * (x⁶/6) - 8 * (x⁸/8) + 9sin(x) - 11 * (x²/2) + 2x + C = x⁶ - x⁸ + 9sin(x) - (11/2)x² + 2x + C

∫3(2x² - 1)² dx = 3∫(4x⁴ - 4x² + 1) dx = 3 * (4∫x⁴ dx - 4∫x² dx + ∫dx) =

= 3 * (4 * (x⁵/5) - 4 * (x³/3) + x) + C = (12/5)x⁵ - 4x³ + 3x + C

∫(3x + 2x² - 3x³)/x dx = ∫(3 + 2x - 3x²) dx = 3∫dx + 2∫x dx - 3∫x² dx =

= 3x + 2 * (x²/2) - 3 * (x³/3) + C = 3x + x² - x³ + C

∫_-1⁰ (x³ + 2x) dx = [x⁴/4 + x²]_-1⁰ = (0⁴/4 + 0²) - ((-1)⁴/4 + (-1)²) = 0 - (1/4 + 1) = -5/4

∫_π/4^π/3 dx/sin²(x) = [-cot(x)]_π/4^π/3 = -cot(π/3) - (-cot(π/4)) = -1/√3 + 1 = 1 - 1/√3

∫_-2³ (8x³ + 3x² - 6x + 4) dx = [2x⁴ + x³ - 3x² + 4x]_-2³ = (2*3⁴ + 3³ - 3*3² + 4*3) - (2*(-2)⁴ + (-2)³ - 3*(-2)² + 4*(-2)) =

= (162 + 27 - 27 + 12) - (32 - 8 - 12 - 8) = 174 - 4 = 170

Площадь фигуры равна интегралу от -3 до 3 функции y = -x² + 9:

S = ∫_-3³ (-x² + 9) dx = [-x³/3 + 9x]_-3³ = (-3³/3 + 9*3) - (-(-3)³/3 + 9*(-3)) = (-9 + 27) - (9 - 27) = 18 - (-18) = 36

Найдем точки пересечения кривых: x² - 2x - 2 = -x² + 2 => 2x² - 2x - 4 = 0 => x² - x - 2 = 0

Решаем квадратное уравнение: D = (-1)² - 4*1*(-2) = 1 + 8 = 9. x₁ = (1 + √9)/2 = 2, x₂ = (1 - √9)/2 = -1

Площадь фигуры равна интегралу от -1 до 2 разности функций y = -x² + 2 и y = x² - 2x - 2:

S = ∫_-1² ((-x² + 2) - (x² - 2x - 2)) dx = ∫_-1² (-2x² + 2x + 4) dx = [-2x³/3 + x² + 4x]_-1² = (-2*2³/3 + 2² + 4*2) - (-2*(-1)³/3 + (-1)² + 4*(-1)) =

= (-16/3 + 4 + 8) - (2/3 + 1 - 4) = (-16/3 + 12) - (2/3 - 3) = 20/3 + 7/3 = 9

Выразим y из первого уравнения: y = 8 - x²

Найдем точки пересечения кривых: 8 - x² = x² => 2x² = 8 => x² = 4 => x₁ = 2, x₂ = -2

Площадь фигуры равна интегралу от -2 до 2 разности функций y = 8 - x² и y = x²:

S = ∫_-2² ((8 - x²) - x²) dx = ∫_-2² (8 - 2x²) dx = [8x - (2/3)x³]_-2² = (8*2 - (2/3)*2³) - (8*(-2) - (2/3)*(-2)³) =

= (16 - 16/3) - (-16 + 16/3) = 32 - 32/3 = 64/3

∫₁⁸ dx/√x² = ∫₁⁸ dx/|x| = ∫₁⁸ dx/x = [ln|x|]₁⁸ = ln(8) - ln(1) = ln(8) - 0 = ln(8)

ln(8) = 2y² + 5y => 2y² + 5y - ln(8) = 0

Решаем квадратное уравнение: D = 5² - 4*2*(-ln(8)) = 25 + 8ln(8)

y₁ = (-5 + √(25 + 8ln(8)))/4, y₂ = (-5 - √(25 + 8ln(8)))/4