1. Дайте определение параллельных прямых. Какие два отрезка называются параллельными? 2. Что такое секущая по отношению к двум прямым? Назовите пары углов, которые образуются при пересечении двух прямых секущей. 3. Докажите, что если при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны. 4. Расскажите о практических способах проведения параллельных прямых. 5.Объясните, какие утверждения называются аксиомами. Приведите примеры аксиом. 6. Сформулируйте аксиому параллельных прямых. 7. Какое утверждение называется следствием? Следствия из аксиомы о параллельных прямых 8. Условия и заключение теоремы. 9. Какая теорема называется обратной данной теореме? Приведите примеры теорем, обратных данным. 10. Докажите, что при пересечении двух параллельных прямых секущей, накрест лежащие углы равны. 11.В чем заключается метод доказательства от противного. 12. формулируйте теоремы об углах, образованных двумя параллельными прямыми и секущей. 13. Сформулируйте теорему об углах с соответственно параллельными сторонами. 14. Сформулируйте и докажите теорему об углах с соответственно перпендикулярными сторонами. С 52-64 учебника

1. Дайте определение параллельных прямых. Какие два отрезка называются параллельными?

Параллельные прямые - это прямые, лежащие в одной плоскости и не пересекающиеся, как бы далеко они ни продолжались. Два отрезка называются параллельными, если они лежат на параллельных прямых или на одной прямой.

2. Что такое секущая по отношению к двум прямым? Назовите пары углов, которые образуются при пересечении двух прямых секущей.

Секущая - это прямая, которая пересекает две или более прямых. При пересечении двух прямых секущей образуются следующие пары углов:

• Накрест лежащие углы
• Соответственные углы
• Односторонние углы

3. Докажите, что если при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.

Доказательство: Пусть даны две прямые a и b, которые пересечены секущей c так, что накрест лежащие углы равны. Обозначим эти углы как ∠1 и ∠2. Предположим, что прямые a и b не параллельны, тогда они пересекаются в некоторой точке. Рассмотрим треугольник, образованный прямыми a, b и секущей c. В этом треугольнике углы ∠1 и ∠2 являются накрест лежащими и равными по условию. Но в треугольнике сумма углов равна 180°, и если два угла равны, то третий угол должен быть нулевым, что невозможно. Следовательно, наше предположение неверно, и прямые a и b параллельны.

4. Расскажите о практических способах проведения параллельных прямых.

Практические способы проведения параллельных прямых:

• С помощью линейки и угольника
• С помощью рейсшины
• С помощью параллелограмма

5. Объясните, какие утверждения называются аксиомами. Приведите примеры аксиом.

Аксиома - это утверждение, которое принимается без доказательства. Примеры аксиом:

• Через любые две точки можно провести прямую, и притом только одну
• На любом луче от его начала можно отложить отрезок заданной длины, и притом только один

6. Сформулируйте аксиому параллельных прямых.

Аксиома параллельных прямых (аксиома Евклида): Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести не более одной прямой, параллельной данной.

7. Какое утверждение называется следствием? Следствия из аксиомы о параллельных прямых

Следствие - это утверждение, которое выводится из аксиом или ранее доказанных теорем. Следствия из аксиомы о параллельных прямых:

• Если прямая перпендикулярна одной из двух параллельных прямых, то она перпендикулярна и другой прямой.
• Если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны между собой.

8. Условия и заключение теоремы.

Теорема состоит из двух частей: условия и заключения. Условие - это то, что дано (предположение). Заключение - это то, что нужно доказать.

9. Какая теорема называется обратной данной теореме? Приведите примеры теорем, обратных данным.

Обратная теорема - это теорема, в которой условие и заключение меняются местами. Пример:

• Прямая теорема: Если углы вертикальные, то они равны.
• Обратная теорема: Если два угла равны, то они вертикальные. (не всегда верно)

10. Докажите, что при пересечении двух параллельных прямых секущей, накрест лежащие углы равны.

Доказательство: Пусть даны две параллельные прямые a и b, которые пересечены секущей c. Обозначим накрест лежащие углы как ∠1 и ∠2. Предположим, что ∠1 ≠ ∠2. Тогда через точку пересечения секущей c и прямой b можно провести прямую b', которая образует с секущей c угол ∠1. По аксиоме параллельных прямых, через эту точку можно провести только одну прямую, параллельную прямой a. Но прямая b также параллельна a, и ∠1 ≠ ∠2, что противоречит аксиоме. Следовательно, наше предположение неверно, и ∠1 = ∠2.

11. В чем заключается метод доказательства от противного.

Метод доказательства от противного заключается в том, что сначала делается предположение, противоположное тому, что нужно доказать. Затем из этого предположения выводится противоречие с условием или ранее доказанными фактами. На основании полученного противоречия делается вывод о том, что исходное предположение неверно, а значит, верно утверждение, которое нужно было доказать.

12. Сформулируйте теоремы об углах, образованных двумя параллельными прямыми и секущей.

Теоремы об углах, образованных двумя параллельными прямыми и секущей:

• Накрест лежащие углы равны.
• Соответственные углы равны.
• Сумма односторонних углов равна 180°.

13. Сформулируйте теорему об углах с соответственно параллельными сторонами.

Теорема об углах с соответственно параллельными сторонами: Если стороны двух углов соответственно параллельны, то такие углы либо равны, либо их сумма равна 180°.

14. Сформулируйте и докажите теорему об углах с соответственно перпендикулярными сторонами.

Теорема об углах с соответственно перпендикулярными сторонами: Если стороны одного угла соответственно перпендикулярны сторонам другого угла, то такие углы либо равны, либо их сумма равна 180°.

Доказательство: Пусть даны углы ∠AOB и ∠A'O'B', у которых OA ⊥ O'A' и OB ⊥ O'B'. Докажем, что ∠AOB = ∠A'O'B' или ∠AOB + ∠A'O'B' = 180°. Рассмотрим четырехугольник, образованный точками пересечения перпендикуляров. Сумма углов в четырехугольнике равна 360°. Углы между перпендикулярами равны 90°. Следовательно, сумма оставшихся двух углов также равна 180°. Таким образом, ∠AOB + ∠A'O'B' = 180°, или, в частном случае, ∠AOB = ∠A'O'B'.

С 52-64 учебника

Ответ: смотри выше