Дайте развернутый ответ: Функция y=arcsin(x). Свойства и график.

Решение: Функция y = arcsin(x)

Функция арксинус \( y = \arcsin(x) \) является обратной к функции \( y = \textrm{sin}(x) \) на промежутке \( [-\frac{π}{2}, \frac{π}{2}] \).

Свойства функции y = arcsin(x):

• Область определения (D(y)): \( [-1; 1] \)
• Область значений (E(y)): \( [-\frac{π}{2}; \frac{π}{2}] \)
• Монотонность: Функция возрастает на всей области определения.
• Чётность/Нечётность: Функция является нечётной, так как \( \textrm{arcsin}(-x) = -\textrm{arcsin}(x) \) для любого \( x \) из области определения.
• Периодичность: Функция не является периодической.
• Нули функции: \( \textrm{arcsin}(x) = 0 \) при \( x = 0 \).
• Знаки функции:
  • Если \( x > 0 \), то \( \textrm{arcsin}(x) > 0 \).
  • Если \( x < 0 \), то \( \textrm{arcsin}(x) < 0 \).

График функции y = arcsin(x):

График функции \( y = \textrm{arcsin}(x) \) симметричен относительно начала координат. Он проходит через точки \( (-1; -\frac{π}{2}) \), \( (0; 0) \) и \( (1; \frac{π}{2}) \).

Ответ: Функция \( y = \textrm{arcsin}(x) \) определена на \( [-1; 1] \) и принимает значения на \( [-\frac{π}{2}; \frac{π}{2}] \), является нечётной и возрастающей.